小结说课稿【一等奖】

3.1.1方程的根与函数的零点

教学目标：

知识与技能：理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．

过程与方法：零点存在性的判定．

情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

教学重点：重点：零

点的概念及存在性的判定．

难点：零点的确定．

一、复习回顾，新课导入

讨论：一元二次方程ax2bxc0(a0)的根与二次函数yax2bxc(a0)数的图象有什么关系？

先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型．

2方程x22x30与函数yx2x3；

22方程x2x10与函数yx2x1；

方程x22x30与函数yx2x3；

2

再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图．

一元二次方程axbxc0(a0)有两不同根就是相应的二次函数2yax2bxc0的图象与x轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；

一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个重根就是相应的二次函数yax2bxc0的图象与x轴一个交点，且其横坐标就是根；

一元二次方程ax2bxc0(a0)无实数根就是相应的二次函数yax2bxc0的图象与x轴没有交点；

总之，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根就是相应的二次函数yax2bxc0的图象与x轴的交点的横坐标．

二、师生互动，新课讲解：

1、函数的零点

对于函数yf(x)，我（zero

point）．来源学&科&网Z&X&X&K]们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点

显然，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标．

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

2、函数零点的判定：

研究方程的实数根也就是研究相应函的交点情况。

问题1：

如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（如数的零点，也就是研究函数的图象与x轴

图，第一组第一行两图，第二组第二行两图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？

第Ⅰ组能说明他的行程中一定曾渡过河，而第Ⅱ组中他的行程就不一定曾渡过河。

问题2：将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？

A、B两点在x轴的两侧。

[来源:学。科。网]

问题3：

A、B与x轴的位置关A、B两点在x轴的两侧。可以用问题4：系，如何用数学符号（式子）来表示？

f（a）·f（b）<0来表示。

满足条件的函数图象与x轴的交点一定在（a，b）内吗？即函数的零点一定在（a，b）内吗？

一定在区间（a，b）上。若交点不在（a，b）上，则它不是函数图象。

通过上述探究，让学生自己概括出零点存在性定理：

一般地，我们有：

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．

⑴函数零点的意义：

函数yf(x)的零点就是方程f(x)0点的横坐标．

实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

⑵函数零点的求法：求函数yf(x)的零点：

①（代数法）求方程f(x)0的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

⑶二次函数的零点：yax2bxc(a0)．

2①

△＞０，方程axbxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

②

△＝０，方程axbxc0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

2③

△＜０，方程ax2bxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

课堂练习：（课本P88练习

NO：1）

例1：

观察下表，分析函数f(x)3x56x1在定义域内是否存在零点？

－2+科+网][来源:学－1 0 1 2

-10 -1 8 107

-109 分析：函数图象是连续不断的，又因为，所以在区间（0，1）上必存在零点。我们也可以通过计算机作图（如图）帮助了解零点大致的情况。

变式训练1：

（1）已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内有零点？为什么？

x

f (x) 1 20 2 -5.5 3 -2 4 6 6 18 10 -3 （2）函数f(x)=(x+4)(x-4)(x+2)在区间[-5，6]上是否存在零点？若存在，有几个？

(3)观察下面函数yf(x)的图象

[来源:学科网ZXXK]

1

在区间[a,b]上______(有/无)零点；f(a)·f(b)_____0（＜或＞）．

○2

在区间[b,c]上______(有/无)零点；f(b)·f(c)_____0（＜或＞）．

○3

在区间[c,d]上______(有/无)零点；f(c)·f(d)_____0（＜或＞）

○例2（课本P88例1）： 求函数f(x)lnx2x6的零点个数．

分析：用计算器或计

1 2 算机作出x，3 科§网]的对应值表和图象。

5 6 7 8 网Z。X。X。K]4

[来源:学§9

[来源:学。科。

-4.0 -1.3 1.1

3.4

5.6

7.8

9.9 12.1 14.2 由表可知，f (2)<0，f (3)>0,则有零点。结合函数的单调性，进而说明，这说明函数在区间（2，3）内零点是只有唯一一个．

变式训练2：利用函数图象判断下列方程有几个根

（1）2x(x-2)=-3 （2）exx0

例3：已知函数f(x)x33x1，问该函数在区间(2,1)内是否有零点？

解：因为f(2)10，f(1)30，所以f(2)f(1)0，又函数f(x)x33x1是连续的曲线，所以f(x)在区间(2,1)内有零点．

变式训练3：函数f(x)lnx2的零点所在的大致区间是（

B ）

x

（A）(1,2)

(B) (2,3)

(C) (e,3)

(D) (e,)

来源学科网

三、课堂小结，巩固反思：

如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数yf(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a,b)内至少有一个实数解．

会用代数法或几何法（特别转化为两条曲线的交点）来判断零点的个数。

四、布置作业：

A组：

1．

（课本P92习题3.1 A组

NO：2）

2．

求下列函数的零点：

（1）yx5x4；（2）yxx20；（3）y(x1)(x3x1)；

（4）f(x)(x2)(x3x2)．22222来源学+科+网Z+X+X+K]

3．

求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些

区间上大于零，哪些区间上小于零：

（1）y12x2x1；（2）y2x24x1．3来源:Zxxk.Com]

4．

已知f(x)2(m1)x24mx2m1：

（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个零点；

（2）如果函数至少有一个5．

求下列函数的定义域：

（1）y（2）yx23x4；（3）yx24x12

x29；零点在原点右侧，求m的值．

6．设函数f(x)lnxx1．求函数f(x)的零点个数。

B组：

11、函数f(x)＝x＋的零点个数为(

A

) xA．0

B．1

C．2

D．3 2．若y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是(

) A．若f(a)f(b)<0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0 B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0 C．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0 D．若f(a)f(b)>0，有可能存答案

D 3．方程2x＋x＝0在下列哪个区间内有实数根(

)[来源学科网]在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0

A．(－2，－1)

B．(0,1)

C．(1,2)

D．(－1,0) 答案

D 4．若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么下列说法中错误的是(

) A．函数f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点

B．函数f(x)在(3,5)内无零点

C．函数f(x)在(2,5)内有零点

D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点

答案

C

5．函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间(

)

A．(5,6)

B．(3,4)

C．(2,3)

D．(1,2) 答案

B 解析

f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，

f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0. 又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，

所以其零点一定位于区间(3,4)．

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