信息技术应用 用计算机绘制函数图象优质课教案设计

1.3单调性与最大(小)值（1）

教学目的| （一）知识教学点

1、函数的单调性、单调区间概念。

2，判断一些简单函数在给定区间上的单调性。

（二）能力训练点

1、培养学生利用数学进行判断、推理的能力。

2、培养学生数形结合，辩证思维的能力。

（三）德育渗透点

1、渗透转化思想，提高学生的数学思维能力。

2、养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯。

教学的重、难点、疑点：

1、教学的重点、难点：函数的单调性的判断。

2、教学的疑点：容易忽视函数定义域对单调性的影响。

授课类型：新授课

教具准备：函数单调性课件一份

教学过程：从图像看变化规律

一、温故知新

1、温故：①让学生观察两个现实生活中用到的统计图，找出变化规律,把数学与现实生活联系起来。

②画出函数y=x+2与y= -x+2的图象，并观察这两个函数图象有什么特征.？（ppt课件展示图像）

生：函数y=x+2的图像是上升的，

y= -x+2的图象是下降的

③观察函数yx2和yx3的图象，回答在下列情况下y的变化情况:(1)在y轴左侧当x逐渐增大时。(2)在y轴右侧当x逐渐增大时。（课件演示y随x的变化，学生观察）

y

y＝x2

x

图1

1

2、知新：（学生回答，教师总结）从函数yx2的图象（图1）看到：（课件展示）

图象在y轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x在区间[0，+)上取值时，随着x的增大,相应的y值也随着增大，即如果取x1,x2∈[0，+)，得到y1=f(x1),y2=f(x2),那么当x1

图象在y轴的左侧部分是下降的，也就是说，当x在区间（-，0）上取值时，随图２

着x的增大，相应的y值反而随着减小，即如果取x1,x2∈（-，0），得到有y1>y2这时我们就说函数y=f(x)=x2在(-,0)y1=f(x1),y2=f(x2),那么当x1

函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的

二、讲解新课：

1、增函数与减函数（让学生根据前面的两个例子归纳出定义，教师补充）

定义：一般的，对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，⑴若当x1f(x2),则说f(x)在这个区间上是减函数（如图4）

y

y

f

(

x

)

f

(

x2

)

x2

图3

x

f

(

x

)

f

(

x1

)

x1

f

(

x1

)

o

x1

f

(

x2

)

x2

x

图4

教师强调：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。（让学生举例）例如函数yx2（图1），当x∈[0,+)时是增函数，当x∈(-,0)时是减函数

2、单调性与单调区间

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数f(x)的单调区间此时也说函数是这一区间上的单调函数

2

3、单调函数的图像特征（提问学生说出）

增函数的图象从左到右上升，减函数的图象从左到右下降

数缺形时少直观，形少数时难入微——（培养学生数形结合的思想）

4、对函数单调性的理解

1、函数单调性是对于定义域内的某个子区间而言的。

2、理解函数单调性的时候注意三点：①x1、x2是在同一个区间上②任意取的两个实数，③一般都不妨设为一大一小。

3、函数单调性反映的是函数在相应区间上函数值随x而变化的趋势。

5、判断下列说法是否正确：（让学生判断，并说明原因）

（1）对于二次函数f(x)x2,因为-1,2∈

R且-1<2,此时有f(-1)

（2）已知函数y=f(x)的定义域为{x|x≥

0},若对于任意的x2>0，都有f(x2)

[0，+）是上减函数。（×）

三、讲解例题：

例1、

如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数yf(x)的图象，根据图象说出yf(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数yf(x)是增函数还是减函数

(提问学生) （图形及解题过程见ppt课件显示）

注

意

（1）各单调区间之间用的是逗号而不是并集符号

（2）函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的点，他的函数值是常数，没有增减变化，不存在单调性的问题，因此写单调区间时，包括不包括端点都可以。

例2、

证明函数f(x)3x2在R上是增函数

证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1

（取值）

f(x1)－f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1－x2),

（作差变形）

由x1

f(x1)

∴f(x)3x2在R上是增函数

（判断）

判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤:（引导学生通过例题总结出）

①取值

②作差变形③定号④判断（ppt课件演示详细步骤）

3

例3、证明函数f(x)1在(0,+)上是减函数（让学生说出每一步的做法）

x证明：设x1,x2是(0,+)上的任意两个实数，且x1

则f(x1)－f(x2)=11xx1－=2,

x1x2x1x2由x1,x2∈(0,+ )，得x1x2>0, 又由x10 ,于是f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)> f(x2)

∴f(x)1在(0,+ )上是减函数

x

练习：证明函数f(x)思考：

函数f(x)能否说函数f(x)= 1在(-，0)上是减函数。

x1在(,0)上是单调递减的，并且在(0,)上也是单调递减的，x1在整个定义域上是减函数？（提问学生回答）

x生：不能。因为f(1)1，

f(1)1，-1<1而f(1)f(1)，不符合减函数的定义。只能说(,0)和(0,)是函数y1的两个单调递减区间，不能说整个定义域x(,0)(0,)是原函数的单调递减区间。

四、小结

(以幻灯片及表格的形式对比给出)

1、单调性（增函数、减函数），单调区间的概念；

2、证明函数单调性的一般步骤；

3、增函数、减函数的图像，图像特征，数量特征。

五、课后作业：课本第48页习题1.3：1，2，3

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