阅读与思考 集合中元素的个数教学目标

第一章

空间几何体

第1．2．3节

空间几何体的直观图

《课程标准》指出：几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科．人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质．三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求．

1. 掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图. 2. 会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图．

一、问题情境

1．观察教材中的有关直观图；

2．如何把立体图形画在纸上？

二、学生活动[来源学_科_网Z_X_X_K]

观察图形思考应怎么画图，才能体现图形的立体感．

三、建构数学

1．平面图形水平放置图，即直观图．

2．斜二测画法．

活动一

平面图形的直观图[来源:学科网ZXXK]

例1

画出如图水平放置的直角梯形的直观图．

1 学科网新高考·优选资源·源于一线

解

(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(1)(2)所示．

1(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取2点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图(2)所示．学科网

(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3)所示．

引申探究

例1中的直角梯形改为等腰梯形，画出其直观图．

解

画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.

1(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画出C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD. 2(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．

[来源:Zxxk.Com]

总结

在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．

变式训练

已知正五边形ABCDE，如图，试画出其直观图．

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2

[来源:Zxxk.Com]

活动二

直观图的还原与计算

2例2

如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D13＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．

解

如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.

在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2. 在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2. 连接BC，即得到了原图形．

由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰的长度AD＝2，

2＋3所以面积为S＝×2＝5. 2学科网新高考·优选资源·源于一线

3

总结

(1)由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．

(2)若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．

变式训练

(1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是(

)学科网

2S或S＝22S′.利用这一公式可由原图4

1A.

2C.2

答案

C 1解析

直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为，又直观图与原平面图形面积比为2∶4，所2以原图形的面积为2，故选C. (2)如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________．(填四边形的形状) B.2

2D．22

答案

菱形[来源学科网]

解析

如图所示，在原图形OABC中，应有OA＝O′A′＝6(cm)，OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝OD2＋CD2＝22＋22＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．

活动三

空间几何体的直观图

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4

例3

用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图．

解

(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

3(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝

cm.分别2过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD. (3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.

(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．

总结

空间几何体的直观图的画法：学_科网

(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出．

(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向．

(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．

变式训练

用斜二测画法画出正六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，O为底面正六边形的中心．(尺寸自定) 解

画法：

(1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面．①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)，画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，1∠x′O′z′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN，以点2N′为中点，画出B′C′平行于x′轴，并且等于BC，再以M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，并且等于EF；③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.

(2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点，在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′.

(3)成图．连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3)．

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