小结评课稿

《函数的性质小结》教学设计

一、教学目标：

1.知识与技能目标：

(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. (2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x). ②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0. ③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性. (3)周期性：①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数. ②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数. ③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数. 1或f（x＋a）＝④若f(x＋a)＝－f(x)，则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数. f（x）易错提醒

错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接. （5）函数的图象

对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. 在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.函数图象的对称性

①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. 2.过程与方法目标：

（1）通过对应描点来研究函数的图象，经历知识的归纳，探究过程。

（2）通过函数的图象归纳函数的性质，体验数形结合的应用。

（3）体会和学会探索问题的一般方法，渗透从特殊到一般的数学思想。

3.情感态度价值观目标：

通过自主探究和合作交流，发挥学生小组合作意识和大胆猜想、积极探究的良好品质，提高发现问题，提出问题、解决问题积极性，体验成功的喜悦。

二、教学重点和难点：

教学重点是以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性，通过函数的图象和性质的应用，提高发现问题和解决问题的能力

教学难点由函数的图象归研究函数的性质及对性质的综合应用，函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法。

练习：

sin x1.函数y＝1＋x＋x2的部分图象大致为(

)

sin x解析

法一

易知g(x)＝x＋x2为奇函数，其图象关于原点对称.所以y＝1＋xsin x＋x2的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度，选项D满足. 法二

当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C.又当x→＋∞时，y→＋∞，B项不满足，D满足. 答案

D x，0

) 2（x－1），x≥1，A.2

C.6

B.4

D.8

解析

由已知得a>0，∴a＋1>1，

∵f(a)＝f(a＋1)，∴a＝2(a＋1－1)，

11解得a＝4，∴fa＝f(4)＝2(4－1)＝6. 答案

C 3.已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(

) A.f(x)在(0，2)上单调递增

B.f(x)在(0，2)上单调递减

C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称

D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称

解析

由题意知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝

ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A，B；又f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误. 答案

C 4.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则xi＝（

）

i＝1mA.0

C.2m

解析

∵f（x）＝f（2－x），

B.m

D.4m ∴函数f（x）的图象关于直线x＝1对称.

又y＝|x2－2x－3|＝|（x－1）2－4|的图象关于直线x＝1对称，

∴两函数图象的交点关于直线x＝1对称.

m当m为偶数时，xi＝2×2＝m；

mi＝1mm－1当m为奇数时，xi＝2×2＋1＝m. i＝1答案

B

热点一

函数及其表示

lg（1－x2）【例1】

(1)函数y＝2的定义域为(

) 2x－3x－2A.(－∞，1]

11C.－1，－2∪－2，1

B.[－1，1] 11D.－1，－2∪－2，1

1＋log2（2－x），x＜1，(2)设函数f(x)＝x－1则f(－2)＋f(log212)＝(

) 2，x≥1，A.3

C.9

B.6

D.12 21－x>0，解析

(1)函数有意义，则2

2x－3x－2≠0，－1

x≠2且x≠－2.1所以函数的定义域为x－1

(1)C

(2)C 探究提高

1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可. (2)抽象函数：根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解. 2.对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则. 【训练1】

(1)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝(

) A.(1，2)

C.(－2，1)

B.(1，2]

D.[－2，1) f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝

(2)已知函数f(x)＝a·2x，x≥0，2－x，x<0(a∈R)，若f(f(－1))＝1，则a＝(

) A.14

B.12

C.1

D.2 解析

(1)由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴A＝[－2，2]，

由1－x＞0得x＜1，∴B＝(－∞，1).∴A∩B＝[－2，1). (2)∵f(－1)＝2－(－1)＝2，

∴f[f(－1)]＝f(2)＝4a＝1，解得a＝14. 答案

(1)D

(2)A 热点二

函数的图象及应用

命题角度1

函数图象的识别

【例2－1】函数f(x)＝21＋ex－1·sin x的图象大致形状为(

)

解析

∵f(x)＝21＋ex－1·sin x，

∴f(－x)＝21＋e－x－1·sin(－x)＝－2ex1＋ex－12sin x＝1＋ex－1·sin x＝f(x). ∴函数f(x)为偶函数，故排除C，D，

当x＝2时，f(2)＝21＋e2－1·sin 2<0，故排除B，只有A符合. 答案

A 命题角度2

函数图象的应用

【例2－2】

(1)(2017·历城冲刺)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(

) A.有最小值－1，最大值1

B.有最大值1，无最小值

C.有最小值－1，无最大值

D.有最大值－1，无最小值

(2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则实数a的取值范围是(

) 3A.－2e，1

33C.2e，4

33B.－2e，4

3D.2e，1

解析

(1)画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|

综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值. (2)设g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)＜h(x0)，

11因为g′(x)＝ex(2x＋1)，可知g(x)在－∞，－2上单调递减，在－2，＋∞上单h（0）＞g（0），调递增，作出g(x)与h(x)的大致图象如图所示，故

h（－1）≤g（－1），a＜1，3即所以≤a<1. 32e－2a≤－e，

答案

(1)C

(2)D 探究提高

1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数

的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断. 2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究. 【训练2】

(1)函数y＝13|log3x|的图象是(

)

(2)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(

A.(－1，0] B.[－1，1] C.(－1，2] D.(－1，1] 解析

(1)当x≥1时，y＝1|log3 x|1log3 x13＝3＝x. 当0

x＝x. ∴y＝1|log3

x1，x≥1，3

|＝x图象为选项A. x，0

(2)在同一坐标系中画出函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象，如图所示.

根据图象，当x∈(－1，1]时，y＝f(x)的图象在y＝log2(x＋1)图象的上方. 所以不等式的解集为(－1，1]. 答案

(1)A

(2)D 热点三

函数的性质与应用

【例3】

(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________. (2)(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(

) A.a

C.b

B.c

D.b

解析

(1)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，

∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，

又f(x)在R上是偶函数，

∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6. (2)法一

易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，

∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0. ∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数. 又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，

∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b. 法二

(特殊化)取f(x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log25.1>20.8，

从而可得c>a>b. 答案

(1)6

(2)C 探究提高

1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.

2.函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性. x3－a（x≥0），【训练3】

(1)(2017·淄博诊断)已知奇函数f(x)＝则f(－2)的值g（x）（x<0），等于________. (2)(2017·石家庄调研)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0.若

f(x－1)>0，则x的取值范围是________. 解析

(1)因为函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，则30－a＝0，∴a＝1. ∴当x≥0时，f(x)＝3x－1，则f(2)＝32－1＝8，

因此f(－2)＝－f(2)＝－8. (2)因为f(2)＝0，f(x－1)>0，

所以f(x－1)>f(2). 又因为f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，

所以f(|x－1|)>f(2)，即|x－1|<2，解得－1

(1)－8

(2)(－1，3)

11.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f(x)＝xln x的定义域时，只考虑x>0，忽视ln x≠0的限制. 2.如果一个奇函数f(x)在原点处有意义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0；若f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x). 3.三种作函数图象的基本思想方法

(1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图；

(2)对函数解析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线；

(3)通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状. 4.函数是中学数学的核心，函数思想是重要的思想方法，利用函数思想研究方程(不等式)才能抓住问题的本质，对于给定的函数若不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，数形结合直观求解.

一、选择题

x－1e，x≤1，1.(2017·唐山一模)若函数f(x)＝则f(f(2))＝(

) 25－x，x>1，A.1

C.0

B.4 D.5－e2

解析

由题意知，f(2)＝5－4＝1，f(1)＝e0＝1，

所以f(f(2))＝1. 答案

A 2.(2017·衡阳二模)已知函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，且g(x)≠0，设p：函数f(x)11＝g(x)1－2x－2是偶函数；q：函数g(x)是奇函数，则p是q的(

) A.充分不必要条件

C.充要条件

解析

令h(x)＝B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

11－(x≠0)易得h(x)＋h(－x)＝0，h(x)为奇函数，g(x)是奇函1－2x2数，f(x)为偶函数；反过来也成立.因此p是q的充要条件. 答案

C 3.(2017·全国Ⅰ卷)函数y＝sin 2x的部分图象大致为(

) 1－cos x

解析

令f(x)＝sin 2x，定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)1－cos x在定义域内为奇函数，图象关于原点对称，B不正确. －1π3又f2＝0，f(π)＝0，f4π＝<0.∴选项A，D不正确，只有选项C满足. 21＋2

答案

C 4.已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(

) A.a＜b＜c

C.c＜a＜b

B.a＜c＜b

D.c＜b＜a

解析

由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，

所以f(x)＝2|x|－1. 所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，

b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，

c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c

C 5.(2016·天津卷改编)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a满足f(2|a－1|)>f(－2)，则a的取值范围是(

) 13A.2，2

1C.2，＋∞

3B.－∞，2

13D.－∞，2∪2，＋∞

解析

∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，

∴在(0，＋∞)上单调递减，f(－2)＝f(2)，

∴f(2|a－1|)>f(2)，∴2|a－1|<2＝22，

111113∴|a－1|<2，即－2

A 二、填空题

6.(2017·成都诊断)函数f(x)＝132x－2＋的定义域为________. x＋112x－≥0，2解析

由题意得：解得x>－1. x＋1≠0，答案

{x|x>－1} 7.(2017·郴州二模)已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝ax(a>0且a≠1)，且

f(log14)＝－3，则a的值为________. 21解析

∵奇函数f(x)满足flog4＝－3，而log14＝－2<0，∴f(－2)＝－3，即f(2)22＝3，

又∵当x>0时，f(x)＝ax(a>0且a≠1)，又2>0，

∴f(2)＝a2＝3，解之得a＝3. 答案

3 1，则使得f(x)＞f(2x－1)成立1＋x28.(2015·全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－的x的取值范围是________. 解析

由f(x)＝ln(1＋|x|)－为f(|x|)＞f(|2x－1|). 1，知f(x)为R上的偶函数，于是f(x)＞f(2x－1)即1＋x21，所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数，则由f(|x|)1＋x21＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，平方得3x2－4x＋1＜0，解得3＜x＜1. 1答案

3，1

当x＞0时，f(x)＝ln(1＋x)－三、解答题

9.已知函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围. 解

当m＝0时，f(x)＝－2x＋1，它显然有一个正实数的零点. 当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x＋1的图象是抛物线，且与y轴的交点为(0，1)，

1x＝>0，1由f(x)有且仅有一个正实数的零点，得m或x＝m<0，解得m＝1或m<0. Δ＝0综上所述，m的取值范围是(－∞，0]∪{1}. 10.(2017·深圳中学调研)已知函数f(x)＝a－(1)求f(0)；

(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；

(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)

(1)f(0)＝a－2＝a－1. 2＋102. 2＋1x

(2)∵f(x)的定义域为R，

∴任取x1，x2∈R且x1

2·（2 x－2 x）22则f(x1)－f(x2)＝a－x－a＋ x＝，

2＋12＋1（1＋2 x）（1＋2 x）121212∵y＝2x在R上单调递增且x1

∴0<2 x<2 x，∴2 x－2 x<0，2 x＋1>0，2 x＋1>0. 121212∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

即a－22＝－a＋x，

2＋12＋1－x解得a＝1(或用f(0)＝0去解). ∴f(ax)

又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2. ∴不等式的解集为(－∞，2). 11.已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a. (1)求函数f(x)的极值；

(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围. 2解

(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－x＝0，得x＝1. 当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，

所以函数f(x)在x＝1处取得极小值为1，无极大值. (2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2ln x－a(x＞0)，

2所以k′(x)＝1－，

x令k′(x)＞0，得x＞2，所以k(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，

所以当x＝2时，函数k(x)取得最小值k(2)＝2－2ln 2－a. 因为函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1，3]上恰有两个不同零点，

即有k(x)在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，

k（1）≥0，1－a≥0，所以k（2）<0，即有2－2ln 2－a<0，

k（3）≥0，3－2ln 3－a≥0，解得2－2ln 2