小结国家优质课一等奖

2.3 幂函数（一）教学目标1．知识与技能（1）理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x，y=x，y=x，y=x的图象.（2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质.2．过程与方法23－112（1）通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力.（2）使学生进一步体会数形结合的思想.3.

情感、态度、价值观（1）通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣.（2）利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望.（二）教学重点、难点重点：常见幂函数的概念、图象和性质.难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小.（三）教学方法采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性.利用实物投影仪及计算机辅助教学.（四）教学过程教学教学内容

师生互动

设计意图

环节

复习

（多媒体显示以下5个问题，同时附学生阅读、思考、交流、口答，教培养学生的观察、归纳、概括能注相关图象，每个问题的结论由学生说出，师板演．引入

然后再在多面体屏幕上弹出）师：观察上述例子中函数模型，这几个函数表达式有什么共同特征？问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=w元，这里p是w的函数.生：解析式的右边都是指数式，且底数都是变量. 变量在底数位置，解析式右边又都是幂的形式，我们把这种函数叫做幂函数.问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数.问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V=a3，这里V是a的函数.（引入新课，书写课题）

力，

问题4：如果正方形场地的面积为S，12那么正方形的边长a=S，这里a是S的函数.问题5：如果某人t

s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v=t1 km/s，这－里v是t的函数.

形成幂函数的定义师：请同学们举出几个具体的理解幂一般地，形如yx（xR）的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数.

幂函数.概念生：如yx,yx,yx21314等都函数的定义.是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.

深化1.研究幂函数的图像引导学生用列表描点法，应用函数（1）yx

12的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑概念（2）yx

（3）yx

2软件画出以上五个数数的图像.

（4）yx

（5）yx31yx

4yx

122-5510y=x3

y=x-1

152.通过观察图像，填P86探究中的表格

定义域

奇偶性

在第Ⅰ象限单调增减性

定点

-20 探究yx

R 奇

在第Ⅰ象限单调递增

（1，1）

yx2

R 奇

在第Ⅰ象限单调递增

（1，1）

-4-6幂函-8让学生通过观察图像，分组讨论，数的-10探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质.性质和图像的变化规律，

yx

R 奇

在第Ⅰ象限单调递增

（1，1）

3yx

12yx1

x|x0

非奇非偶

在第Ⅰ象限单调递增

（1，1）

x|x0

奇

在第Ⅰ象限单调递减

（1，1）

3.幂函数性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：1x1）；

（2）x＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.

特别地，当x＞1，x＞1时，x∈（0，1），yx2的图象都在yx图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）

当0<α＜1时，x∈（0，1），yx的图象都在yx的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）

（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.

应用 例1 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.25例1分析：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考掌握幂函数知举例

（1）y=x；（2）y=x34；（3）y=x2.－虑，列出相应不等式（组），解不等式

（组）即可得到所求函数的定义域. ①若函数解析式中含有分母，分母不能为0；

识的应用. ②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；

③0的0次幂没有意义；

④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0. 解：（1）函数y=x，即y=5x2，

（2）函数y=x

其定义域为R，是偶函数，它在［0，+∞）上单调递增，在（－∞，0］上单调递减. 3425

，即y=14x3，其定义域为（0，+∞），它既不是奇函数，也不是偶函数，它在（0，+∞）上单调递减. （3）函数y=x2，即y=－1x2，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），是偶函数.它在区间（－∞，0）和（0，+∞）上都单调递减.

例2 证明幂函数f（x）=x在［0，+∞）

上是增函数. 请同学们回顾一下如何证明一个函数是增函数，然后请一个学生作答，师板书. 例2证明：设0≤x1＜x2，

则f（x1）－f（x2）

=x1－x2

==(x1x2)(x1x2)x1x2x1x2x1x2

，

合作探究：

【例3】

比较下列各组数的大小：

1313因为x1－x2＜0，

x1+x2＞0，

所以f（x1）＜f（x2），

即幂函数f（x）=x在

［0，+∞）上是增函数. 小结：以上是用作差法证明函数的单调性，还可以用作商法证明函数的单调性，作简要分析，提出注意点：在证得f(x1)＜1后，要比较f（x1）与f（x2）f(x2)的大小，要注意分母的符号. 例3分析：比较两个或多个数值的大小，一般情况下是将所要比较的两个24（1）1.5，1.7，1；

22310或多个数值转化为比较某一函数的不（2）（－），（－）3，1.13；

27同函数值的大小问题，进而根据所确定2（3）3.83，3.9，（－1.8）；

2535的函数的单调性，比较自变量的大小即可.若所给的数值不能转化为比较同一函数的不同函数值的大小问题，可以找出中间量来作为桥梁间接地进行比较，确定出它们的大小关系，一般情况下是根据具体情况选择常数“1”“－1”或“0”这些数作为中间量来进行比较. （4）31.4，51.5.

和解：（1）∵所给的三个数之中11.7311.53的指数相同，且1的任何次幂都131、1.7313是1，因此，比较幂1.513、1的大小就是比较1.51、1.73、1的大小，也就是比较函数1y=x3中，当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确1y=x3定，只需确定函数1y=x3的单调性即可，又函数在（0，+∞）上单调递增，131＞1.53且1.7＞1.5＞1，所以1.72（2）（－）2223＞1. 22=（）3，

22107（－）3=（）3，

71043231.1=［（1.1）2］23=1.2123. ∵幂函数y=x调递减，且在（0，+∞）上单27＜＜1.21，

21023∴（

7）1023＞（2）223

＞1.21即（－，

2323

210）＞（－）27

课堂练习

1.下列函数中，是幂函数的是

12＞1.143. （3）利用幂函数和指数函数的单2325调性可以发现0＜3.835＜1，3.9＞1，（－1.8）＜0，从而可以比较出它们的大小. （4）它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4＜31.5＜51.5. 小结：（1）当底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了. （2）当底和指数都不同，插入一个中间数，综合利用幂函数和指数函数的单调性来比较. 课堂练习答案：

1. C

2. D

A.y=－x

B.y=3x2 D.y=2

x3. D

4. a=1，m=1，3，5，7.

1C.y=

x

2.下列结论正确的是

A.幂函数的图象一定过（0，0）和

（1，1）

B.当α＜0时，幂函数y=xα是减函数

C.当α＞0时，幂函数y=xα是增函数

D.函数y=x2既是二次函数，也是幂函数

353.函数y=x的图象大致是

4.幂函数f（x）=axm28m（m∈Z）的图象与x轴和y轴均无交点，并且图象关于原点对称，求a和m.

归纳

1.幂函数的概念以及它和指数函数表学生先自回顾反思，教师点评完善．

形成知识体系. 总结

达式的区别. 2.常见幂函数的图象和性质. 3.幂值的大小比较方法.

课后

作业：2.3 第一课时

习案

作业

学生独立完成

巩固新知

提升

能力

备选例题

例1

已知y(m22m2)xm212n3是幂函数，求m，n的值. m22m21【解析】由题意得m210，

2n30m33解得3，

所以m3,n. 2n2【小结】做本题时，常常忽视m2 + 2m

– 2 = 1且2n

– 3 = 0这些条件. 表达式y

=x(x∈R)的要求比较严格，系数为1，底数是x，∈R为常数，如y1x2023x2，y = 1 = x为幂函数，而如y = 2x，y = (x

– 1)等都不是幂函数. 例2

比例下列各组数的大小. （1）8781和()8；

97（2）(–2)–3和(–2.5)–3；

（3）(1.1)–0.1和(1.2)–0.1；

22（4）(4.1)5,(3.8)3783和(1.9)5. 【解析】（1）81()8，函数yx8在

877771111(0, +∞)上为增函数，又，则()8()8，

8989从而8781()8. 97（2）幂函数y = x–3在(–∞, 0)和(0, +∞)上为减函数，

又∵–2＞–2.5，∴(–2)–3＜(–2.5)–3. （3）幂函数y = x–0.1在(0, +∞)上为减函数，

又∵1.1＜1.2，∴1.1–0.1＞1.2–0.1. 2（4）(4.1)53(1.9)52＞15= 1；0＜(3.8)23＜123= 1；

＜0，

＜(3.8)2335∴(1.9)25＜(4.1). 【小结】比较大小题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的“桥梁”.