复习参考题第二课时教学实录

章末复习提升课

指数、对数的基本运算

11[问题展示]

(必修1 P83复习参考题

B组T2)若2a＝5b＝10，则＋＝________．

ab

解析：因为2a＝5b＝10，

所以a＝log210，b＝log510，

1111所以＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.

ablog210log51011所以＋＝1.

ab答案：1

11若－＝1，2a＝5b＝c(c>0)，求c的值．

ab解：因为2a＝5b＝c，

所以a＝log2c，b＝log5c.

11又－＝1，

ab11所以－＝1，

log2clog5c即logc2－logc5＝1.

22所以logc＝1.所以c＝.

55

【拓展1】

若m＞0，n＞0，且m≠1，n≠1，mn≠1.若ma＝nb＝(mn)c(abc≠0)．求证：111＋＝. abc证明：由m>0，n>0，且m≠1，n≠1，mn≠1和ma＝nb＝(mn)c，得

a＝logm(mn)c＝c logmmn，

b＝logn(mn)c＝c lognmn.

1111所以＋＝＋

abc logmmnc lognmn1＝(log(mn)m＋log(mn)n)

c11＝log(mn)mn＝.

cc111所以＋＝.

abc【拓展2】

设mi>0，且mi≠1，m1m2…mn≠1.若ma11＝ma22＝…＝mann＝m1m2…mn且ai≠0(i＝1，2，3，…，n)．

111求证：＋＋…＋＝1. a1a2an证明：令m1m2·…·mn＝t.

所以ma11＝ma22＝…＝mann＝t.

则ai＝logmit.

111111所以＋＋…＋＝＋＋…＋

a1a2anlogm1tlogm2tlogmnt＝logtm1＋logtm2＋…＋logtmn＝logtm1m2…mn＝logt

t＝1.

111所以＋＋…＋＝1.

a1a2an

基本初等函数的性质

[问题展示]

(必修1 P83复习参考题

B组T3)对于函数f(x)＝a－(1)探索函数f(x)的单调性；

(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？

解：(1)法一：(直接判断法)

因为函数y＝2x＋1在R上是增函数，

2又2x＋1>0，所以函数y1＝x在R上是减函数，

2＋12(a∈R)．

2＋1x

2所以函数y2＝－x在R上是增函数，

2＋12所以函数f(x)＝a－x在R上是增函数．

2＋1法二：(定义法)[来源学科网]

2f(x)＝a－x(a∈R)的定义域为R.

2＋1设x1、x2是R上的任意两个数，且x1

2(2x1－2x2)22则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝.

2x1＋12x2＋1(2x1＋1)(2x2＋1)因为x1

又2x1＋1>0，2x2＋1>0.

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

所以f(x)在R上是增函数．

2(2)因为f(x)＝a－x(a∈R)的定义域为R.

2＋1要使f(x)为奇函数，

则f(－x)＝－f(x)在R上恒成立，

即a－22＝－a＋x，

2＋12＋1－x22所以2a＝x＋－x＝2，

2＋12＋1所以a＝1.

所以存在实数a＝1，使函数f(x)为奇函数．

2x－1设函数f(x)＝x. 2＋1(1)求证函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且图象位于两直线y＝－1与y＝1之间．

(2)若m，n∈R，且f(m)>f(n)．求证：m>n. 2x－1证明：(1)f(x)＝x的定义域为R，

2＋12x－11－2x2x－1且f(－x)＝－x＝＝－x＝－f(x)．

2＋11＋2x2＋1－即f(－x)＝－f(x)．

所以f(x)是奇函数．所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称．

2x－12法一：f(x)＝x＝1－x.

2＋12＋1

因为2x>0，

所以2x＋1>1.

2所以0

2＋1即－2<－22<0，所以－1<1－x<1.

2＋12＋1x即－1

所以函数y＝f(x)的图象位于两直线y＝－1与y＝1之间．

2x－11＋y法二：由y＝x，得2x＝.

2＋11－y1＋y因为2x>0，所以>0，

1－y即－1

所以函数y＝f(x)的图象位于两直线y＝－1与y＝1之间．

(2)由f(m)>f(n)得

2m－12n－1>，

2m＋12n＋1化简得2m>2n.所以m>n.

－2x＋b已知f(x)＝x＋1是定义域为R的奇函数．

2＋a(1)求a，b的值；

(2)当x∈R时，解不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)>0. －2x＋b解：(1)法一：因为f(x)＝x＋1在R上是奇函数．

2＋a所以f(－x)＝－f(x)在R上恒成立．

－2x＋b－2x＋b即－x＋1＝－x＋1.

2＋a2＋a－化简得

(2b－a)(2x＋2x)＋2ab－4＝0在R上恒成立．

－2b－a＝0a＝2a＝－2所以.即或.

2ab－4＝0b＝1b＝－1当a＝－2时，f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}．

不符合题意，故舍去．

所以a＝2，b＝1.

法二：由题意得f(0)＝0f(－1)＝－f(1)，

即.

－2＋b－2＋b1＋a＝－4＋a－1－1＋b＝02＋a解得a＝2，b＝1.

－2x＋111(2)由(1)知f(x)＝x＋1＝－＋x.

22＋12＋2易知f(x)在R上是减函数，又f(x)为奇函数．

所以f(t2－2t)＋f(2t2－1)>0，

等价于f(t2－2t)>f(－2t2＋1)，

所以t2－2t<－2t2＋1，

即3t2－2t－1<0，

1所以－

3

抽象函数

[问题展示]

(必修1 P82复习参考题

A组T7)已知f(x)＝3x，求证：

(1)f(x)·f(y)＝f(x＋y)；

(2)f(x)÷f(y)＝f(x－y)．

解：(1)因为f(x)＝3x，

所以f(x)·f(y)＝3x·3y＝3xy＝f(x＋y)，

＋即f(x)·f(y)＝f(x＋y)．

(2)f(x)÷f(y)＝3x÷3y＝3xy＝f(x－y)，

－即f(x)÷f(y)＝f(x－y)．

已知函数f(x)的定义域为R，值域为(0，＋∞)，对于x，y∈R均有f(x)f(y)＝f(x＋y)．

(1)求f(0)的值；

(2)求证f(x)f(－x)恒为定值，并求出此定值；

(3)求证f(x)÷f(y)＝f(x－y)；

(4)验证f(2x)＝[f(x)]2，f(3x)＝[f(x)]3；猜想f(nx)与f(x)的关系(n∈N*)；

(5)若当x>0时，f(x)>1，求证f(x)在R上是增函数；

(6)你学过的哪一个函数满足上述结论．

解：因为f(x)的定义域为R，值域为(0，＋∞)．且x，y∈R时，f(x)f(y)＝f(x＋y)．

[来源:Zxxk.Com]

(1)令y＝0得f(x)·f(0)＝f(x)，

所以f(0)＝1.[来源:Zxxk.Com]

(2)f(x)·f(－x)＝f[x＋(－x)]＝f(0)＝1.

即f(x)·f(－x)恒为定值1.

(3)证明：由f(x)＝f[y＋(x－y)]＝f(y)·f(x－y)得

f(x)÷f(y)＝f(x－y)．

(4)f(2x)＝f(x＋x)＝f(x)f(x)＝[f(x)]2，

f(3x)＝f(2x＋x)＝f(2x)f(x)＝[f(x)]2f(x)＝[f(x)]3.

…

猜想f(nx)＝[f(x)]n(n∈N*)．

(5)证明：设x1，x2是R上任意的两个实数．

且x1

f(x2)由(3)知，f(x2－x1)＝.

f(x1)当x2>x1，x2－x1>0.

又x>0时，f(x)>1.

f(x2)所以f(x2－x1)＝>1.

f(x1)由于f(x)>0.所以f(x2)>f(x1)．

所以f(x)在R上是增函数．

(6)f(x)＝ax(a>1)可满足条件与结论．

已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x∈R且x≠0}，值域为R，对于x，y∈D，均有f(xy)＝f(x)＋f(y)．

(1)求f(1)的值；

x(2)求证f()＝f(x)－f(y)；

y(3)求证f(x)为偶函数；

(4)验证f(x2)＝2f(x)，f(x3)＝3f(x)．猜想f(xn)与f(x)的关系(n∈N*)；

(5)当x>1时，f(x)<0，解不等式f(2x－1)

解：因为f(x)的定义域为D＝{x|x∈R，且x≠0}．值域为R，且对于x，y∈D时，

f(xy)＝f(x)＋f(y)．

(1)令y＝1得f(x)＝f(x)＋f(1)．所以f(1)＝0.

xx(2)证明：因为f()＋f(y)＝f(·y)＝f(x)，

yy

x所以f()＝f(x)－f(y)．

y(3)证明：因为f(1)＝f[(－1)·(－1)]＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，

由(1)知f(1)＝0，

所以f(－1)＝0；

在f(xy)＝f(x)＋f(y)中令y＝－1得

f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x)．

所以f(x)为偶函数．

(4)f(x2)＝f(x·x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，

f(x3)＝f(x2·x)＝f(x2)＋f(x)＝2f(x)＋f(x)＝3f(x)．

所以猜想f(xn)＝nf(x)(n∈N*)．[来源学_科_网Z_X_X_K]

(5)先判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两实数，且x11，

x1x2由(2)知，f(x2)－f(x1)＝f()．

x1又x>1时，f(x)<0.

所以f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)

所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数．

由(3)知f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上为增函数．

所以不等式f(2x－1)

f(|2x－1|)

即|2x－1|>|x|.

即3x2－4x＋1>0.

1所以x<或x>1.

31所以不等式f(2x－1)1或x<}．

3附：模型函数

1．f(x)的定义域为R，值域为R，若对于任意x，y∈R，均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

模型函数为f(x)＝kx(k≠0)．

2．f(x)的定义域为R，值域为(0，＋∞)，若对于任意x，y∈R，均有f(x＋y)＝f(x)f(y)．

模型函数为f(x)＝ax(a>0且a≠1)．

3．f(x)的定义域为D＝{x|x∈R，且x≠0}，若对于任意x，y∈D，均有f(xy)＝f(x)＋f(y)．

模型函数为f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)．

2x＋11．(2015·高考山东卷)若函数f(x)＝x是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为2－a(

) A．(－∞，－1)

C．(0，1)

－B．(－1，0) D．(1，＋∞) 2x＋12x＋12x＋12x＋1解析：选C．f(－x)＝－x＝由f(－x)＝－f(x)得，即1－a·2xx，x＝－x2－a1－a·21－a·22－a2x＋1＝－2＋a，化简得a·(1＋2)＝1＋2，所以a＝1，f(x)＝x.由f(x)>3得0

2－1xxx11＝log2c，则(

) 2．设a，b，c均为正数，且2＝log1a，＝logb，12222abcA．a

C．c

解析：选A．

B．c

D．b

1法一：由函数y＝2，y＝x的图象知0

2，y＝log2x，y＝log12xx

法二：因为a>0，所以2a>1，

所以log1a>1，

21所以0

21又因为b>0，所以0<b<1，

2<1，0

21又因为2>0，所以log2c>0，所以c>1.

1所以0

22x3．如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝log2x，y＝x，y＝的22图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．

12cb

解析：由图象可知，点A(xA，2)在函数y＝log2x的图象上，

2221所以2＝log2xA，xA＝＝.

222点B(xB，2)在函数y＝x的图象上，所以2＝xB，xB＝4.

x2点C(4，yC)在函数y＝的图象上，

24111121所以yC＝＝.又xD＝xA＝，yD＝yC＝，所以点D的坐标为2，4.

2424121211答案：2，4

4．设a>1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝c，则a的值为________．

解析：因为logax＋logay＝loga(xy)＝c(a>1)，

ac所以y＝.

xac因为a>1，所以y＝在x∈[a，2a]上单调递减，

xacac1c－1c－1所以ymax＝＝a，ymin＝＝a，

a2a2a≤a⇒c≤3，1c－1

c－2a≥a⇒a≥2⇒c≥log2＋2.a2因为loga2＋2≤c≤3且c值只有1个，

所以c＝3，即loga2＝1，故a＝2.

答案：2 5．设函数f(x)的定义域为R，对任意x1，x2有f(x1)＋f(x2)＝2f＝0，f(π)＝－1. (1)求f(0)的值；

(2)求证：f(x)是偶函数，且f(π－x)＝－f(x)．

ππ解：(1)令x1＝π，x2＝0，则f(π)＋f(0)＝2f2·f2，即－1＋f(0)＝0，f(0)＝1.

(2)证明：令x1＝x，x2＝－x，则f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)＝2f(x)，

即f(x)＝f(－x)，

πx1＋x2x1－x2·f，且f222c－12

所以f(x)为偶函数．

令x1＝π－x，x2＝x，

ππ－2x则f(π－x)＋f(x)＝2f2f2＝0，

即f(π－x)＝－f(x)．

1－mx6．已知函数f(x)＝loga是奇函数(a>0，a≠1)．

x－1(1)求m的值；

(2)判断f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性；

1(3)02＋b恒成立，求实数b的取值范围．

解：(1)因为f(x)是奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)在其定义域内恒成立，

1＋mx1－mx即loga＝－loga，

－x－1x－1所以1－m2x2＝1－x2恒成立，

所以m＝－1或m＝1(舍去)，即m＝－1.

x＋1(2)由(1)得f(x)＝loga(a>0，且a≠1)，

x－1任取x1，x2∈(1，＋∞)．

x＋1设x1

x－1x1＋1x2＋1则t(x1)＝，t(x2)＝，

x1－1x2－1x1＋1x2＋12(x2－x1)所以t(x1)－t(x2)＝－＝，

x1－1x2－1(x1－1)(x2－1)因为x1>1，x2>1，x1

所以x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0.

x1＋1x2＋1所以t(x1)>t(x2)，即>，

x1－1x2－1所以当a>1时，f(x)在(1，＋∞)上是减函数；

当0

11>b恒成立．

(3)对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f(x)>＋b恒成立⇔f(x)－221令g(x)＝f(x)－2，

结合(2)知，g(x)在[3，4]上是单调递增函数，

xxxx

1所以b

81－∞，loga2－

即b的取值范围是8