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新课标人教A版高中数学必修一第一章

第三节《函数性质示》单元测试题

一．选择题

1.下列函数中，在区间A. C.

B.

D.

上是增函数的是（

）

【答案】A 【解析】

试题分析：根据题意可以知道:对A,一次函数,易知在区间调减函数,所以函数在所以在区间易知在区间上为增函数,故正确；对B，为反比例函数,易知在和是为单,上为减函数,故不正确；对C,上为减函数,故不正确；对D，为二次函数,开口向下,对称轴为上为减函数,故不正确；故选A. 考点：函数的单调性.

2.若函数A.

B. 在区间

C. 上是减函数，则实数的取值范围是（ ）．

D. 【答案】A 【解析】

【分析】

根据函数在区间【详解】若函数则解得故选

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，解题的关键是掌握二次函数图象的性质，属于基础题。

3.设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是（ ）．

函数在区间的图象的性质，可得到函数图像的对称轴，接下来根据函数上是减函数，即可得到答案

的图象是开口方向朝上，以上是减函数

为对称轴的抛物线

1

A. 奇函数 B. 偶函数

C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数．

【答案】A 【解析】

【分析】

先判断定义域是否关于原点对称，然后求出【详解】则函数由故函数故选

【点睛】本题主要考查了函数奇偶性，分两个步骤，先判断定义域是否关于原点对称，然后求出定与之间的关系。

为偶函数，则的值是（

）

，判的定义域为，

的定义域为

在上为奇函数

，判定与之间的关系

4.已知函数A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】B 【解析】

试题分析：因为函数为偶函数，所以在R上恒成立，所以考点：由函数性质求参数值．

5.如果奇函数在区间上是增函数且最大值为5，那么在区间在R上恒成立，即．故选B．

上是（ ）

A. 增函数且最小值是-5

B. 增函数且最大值是-5 C. 减函数且最大值是-5

D. 减函数且最小值是-5

【答案】A 【解析】

【分析】

由奇函数在区间上的单调性可知在区间是奇函数，并且在区间是增函数，

上的单调性，再通过奇函数性质得出结果。

上是增函数，

【详解】因为函数所以在区间

2

因为所以所以在区间，在区间上的最大值为5，

上的最小值是-5。

。

【点睛】奇函数在y轴左侧和右侧的单调性相同，并且有6.函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在区间(-∞,4)上递减,则a的取值范围是 ( ) A. 【答案】B 【解析】

【分析】

根据函数在区间【详解】若函数则解得故选

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，解题的关键是掌握二次函数图象的性质，属于基础题。

7.已知A. 【答案】C 【解析】

【分析】

利用是偶函数，，则

，

是偶函数，

则

，

，当，，即可求得答案

是偶函数,且当 B. 时, C. ,则当时,的解析式为（ ）

函数在区间的图象的性质，可得到函数图像的对称轴，接下来根据函数上是减函数，即可得到答案

的图象是开口方向朝上，以上是减函数

为对称轴的抛物线

B.

C. (-∞,5)

D.

D. 【详解】设当时,

3

故选

【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式，掌握解题方法，较为简单。

8.已知且，则（ ）

A. –26 B. –18 C. –10 D. 10

【答案】A 【解析】

令g(x)＝x5＋ax3＋bx，

则g(－x)＝－g(x)，

∴g(x)为奇函数．

又∵f(x)＝g(x)－8，

∴f(－2)＝g(－2)－8＝10⇒g(－2)＝18. ∴g(2)＝－18. ∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26. 选A

9.设为奇函数，且在区间上为减函数，，则的解集为（ ）

A. B.

C. D.

【答案】C 【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性求出，分成两类，分别利用函数的单调性进行求解。

【详解】为奇函数，且在区间上为减函数，，

，在内为减函数，

，

则或

根据在上为减函数，在内为减函数，

解得

故选

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的性质以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础题。10.若偶函数在上是增函数，则（

）

4

A. C. 【答案】D 【解析】

【分析】

B. D.

根据偶函数性质确定【详解】由偶函数，得在上单调性，再根据单调性确定大小. 上是增函数，得，即在上是减函数，，，又因为，故选项为D. 【点睛】本题考查偶函数性质与函数单调性应用，考查基本分析求解能力.

11. 下列判断正确的是（

）

A. 函数B. 函数C. 函数D. 函数【答案】C 【解析】

A中函数的定义域为试题分析：不关于原点对称，不关于原点对称，B中函数的定义域为不是奇函数；，，是奇函数

是偶函数

是非奇非偶函数

既是奇函数又是偶函数

不是偶函数；C中函数的定义域为，所以是非奇非偶函数；D中是偶函数，不是奇函数.故选C. 考点：函数的奇偶性. 【方法点睛】判断函数奇偶性的方法：⑴定义法：对于函数或〕函数是偶函数；对于函数的定义域内任意一个，都有的定义域内任意一个，都有〔或〔或或对称；②比较与函数①判断定义域是否关于原点是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：的关系；③下结论.⑵图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关

5

于轴对称的函数是偶函数.⑶运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+②奇函数×③若偶函数=偶函数；奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数；12.若A. B. C. D. 【答案】C 【解析】

试题分析：因为，又因为故选C. 考点：函数的奇偶性和单调性. 【方法点晴】本题主要考查了函数奇偶性和单调性的应用，由二次函数的的顶点式可得，根据题意可知对称到同一区间即可比较大小，故有.

13.若函数A. C. 【答案】B 【解析】

【分析】

由奇函数得，代入后求出解析式

B.

D. 在上是奇函数，则

的解析式为（ ）．

和不在同一单调区间，所以需利用奇偶性，即可得到是偶函数，所以，且函数在，所以上是减函数，所以，是偶函数，其定义域为

，且在上是减函数，则为偶函数，则与.

的大小关系是（

），只需利用不等关系

6

【详解】函数，

在上是奇函数

即即，

，，

解得则故选

【点睛】本题考查了函数奇偶性的运用，当奇函数定义域取到零时有为基础。

14.已知定义在上的奇函数的解析式为A. 【答案】D 【解析】

【分析】

可设，则，则，则适合，

函数是定义在上的奇函数

即解得故选

时的解析式，在解析式中把换为 B. ，当时，，那么，然后再赋值法求出解析式，较时，

（ ）．

C. D.

后，再运用函数是奇函数得到答案

【详解】设【点睛】本题主要考查了函数解析式的常用求法，给出了函数在某区间上的解析式，求在其他区间上的解析式时，先在待求区间上设出自变量，然后通过恰当的变化，使变化后的变量符合给定解析式的区间，然后借助于周期性，奇偶性等求解。

7

15.设函数是奇函数，在内是增函数，又，则的

解集是（ ）．

A. C. 【答案】D 【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性求出【详解】函数，分成两类，分别利用函数的单调性进行求解

内是增函数，又，

B. D.

是奇函数，在内是增函数，

，且在，

①当

②当时，

③当综上，故选

时，

时，不等式的解集为

的解集为

【点睛】本题主要考查了函数奇偶性和单调性的综合，所以要求掌握抽象函数的单调性运用，较为基础。

二、填空题

16.设奇函数的定义域为，若当时，的图象如图,则不等式的解集是（

）

学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...

A.

8

B. C. D. 【答案】C 【解析】

试题分析：由于函数图象，则的解为是定义在或上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称，补画，最后用区间表示出来

函数的考点：1.函数的奇偶性；2.奇函数、偶函数图象及性质；3.利用函数图象解不等式

17.已知【答案】

【解析】

本试题考查了函数的奇偶性。

解：为偶函数

，即解得：

为偶函数，所以其定义域一定是关于原点对称

，解得：

18.设是R上的奇函数，且当

时，，则_________．

是偶函数，且定义域为，则__________．

【答案】【解析】

【分析】

由函数的性质得【详解】当，代入当时，，

时的解析式求出的值，继而得到结果

，

是上的奇函数，

9

故答案为

【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的性质，属于基础题。

19.若【答案】【解析】

试题分析：考点：函数的单调性.

20.已知是定义在上的偶函数，在是增函数，且，则的解集为________

,因函数在区间上是增函数，所以，得.

在区间上是增函数，则实数的取值范围是____________.

【答案】（—2,0）

【解析】

试题分析：由函数为偶函数，时

转化为可得，由函数在是增函数，结合函数图像可知当，解集为（—2, 0）

考点：函数奇偶性单调性解不等式

三、解答题

21.已知函数（1）（2）（3）【答案】【解析】

本题以抽象函数为例，在已知函数的单调性和奇偶性的前提下，解关于x的不等式，着重考查了函数的定义域和函数的简单性质等知识点，属于基础题．根据函数f（x）的定义域为（-7，7），原不等式的自变量应该在这个范围内，由此得-1＜a＜6．又因为f（x）是奇函数，且在定义域上单调递减，所以原不等式转化为1-a＞1-a2，解之得a＞4，结合前面求出的大前提，取交集可得实数a的取值范围．

解：

，则,

的定义域为，且同时满足下列条件：

是奇函数；

在定义域上单调递减；

求的取值范围。

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22.证明函数【答案】见解析

【解析】

证明：任取在上是增函数．

，且，则··2分

·····9分

因为所以函数

23.已知【答案】【解析】

或

在，得···········11分

···················12分

上是增函数·在区间内有一最大值，求的值．

试题分析：配方将函数解析式改写为的形式，得到函数的对称轴为，讨论对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左侧、在区间上及在区间右侧求之即可. 试题解析：函数①当②当③当综上，的图象的对称轴为，即，即，即或

时，时，在区间在区间时，

上单调递减，则上单调递增，则，解得. ，解得，解得（舍）或

，

（舍）或

（舍）；考点：1.二次函数的性质；2.函数的最值；3.分类讨论思想. 【名师点睛】本题考查二次函数的性质、函数的最值、分类讨论思想，属难题；二次函数求最值问题，一般先用配方法将二次函数化为

24.设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数，且，求和的形式，得到顶点和对称轴，结合二次函数图象求解.

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的解析式．

【答案】【解析】

【分析】

题目给出了相同定义域上的两个函数，且给出了两函数解析式的和，可借助于得到关于【详解】∵而即和的另一方程，联立方程组即可求解

是奇函数，∴, ，∴，．

，且

和的奇偶性，取，，．

是偶函数, ，得【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，考查了方程思想，解答此题的关键是借助于函数的的奇偶性，得到关于

25.已知函数（）当时，求函数，．

和的另一方程，是求函数解析式的一种方法。

的最大值与最小值．

在区间上是单调函数．

（）求实数的取值范围，使得【答案】(1)

（2）【解析】

分析：（1）当函数由在区间时，或的最小值为；．

的最大值为．

，结合函数的单调性可得函数的图象的对称轴为，

或，

，进而可得结果. 的最大值与最小值；（2）上是单调函数，可得时，详解：（）当．

∴时，时，（）函数∵∴在区间或的最小值为；

的最大值为．

的图象的对称轴为上是单调函数，

．

，

12

故的取值范围是：或．

点睛：本题主要考查二次函数的图象与性质，意在考查学生综合利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.

26.已知函数（1）求是定义在上的奇函数，且．

的解析式；

在上是增函数；

．

；（2）证明见解析；（3）. （2）用定义证明（3）解不等式【答案】（1）【解析】

试题分析：（1）根据条件建立方程关系即可求出函数的解析式；（2）利用定义证明. 在上是增函数；（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可解不等式试题解析：（1）（2）设则，即且

，，

，

,

∵∴，，即，，，∴，

．

在，

上是增函数．

（3）依题意得，则∴考点：1.函数奇偶性的应用；2.利用定义法证明函数的单调性.

27.若对于一切实数（1）求（2）若，都有为奇函数； .

；

：

，并证明，求【答案】（1）见解析；（2）

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【解析】

试题分析：（1）利用赋值法求f(0)，再令y＝－x，根据奇函数定义证明（2）利用赋值法求f(1)，再根据定义将f(3)化为f(1) 试题解析：

(1)令x＝y＝0，∴f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0. 令y＝－x，f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x). ∴f(x)为奇函数. (2)∵f(1)＝3，令x＝y＝1，得f(2)＝2f(1)＝6. ∴f(3)＝f(1)＋f(2)＝9. 由①得f(x)为奇函数，∴f(－3)＝－f(3)＝－9.

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