平方差公式的应用板书设计及意图

1.5

平方差公式(一) ●教学目标

(一)教学知识点

1.经历探索平方差公式的过程. 2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. (二)能力训练要求

1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力. 2.培养学生观察、归纳、概括等能力. (三)情感与价值观要求

在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美. ●教学重点

平方差公式的推导和应用. ●教学难点

用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式. ●教学方法

探究与讲练相结合. 使学生在计算的过程中发现规律，并运用自己的语言进行表达，用符号证明这个规律，并探索出平方差公式的结构特点，在老师的讲解和学生的练习中学会应用. ●教具准备

投影片四张

第一张：做一做，记作(§1.5.1 A) 第二张：例1，记作(§1.5.1 B) 第三张：例2，记作(§1.5.1 C) 第四张：练一练，记作(§1.5.1 D) ●教学过程

Ⅰ.创设情景，引入新课

［师］你能用简便方法计算下列各题吗？

(1)2001×1999；(2)992－1

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［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800. ［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的2001，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，所以2001×1999就是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+1)(2000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：20002－12，恰为这两个数2000与1的平方差.即

(2000+1)(2000－1)=20002－12. 那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？

我们不妨看下面的做一做. Ⅱ.使学生在计算的过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言和符号表示其规律

［师］出示投影片(§1.5.1 A) 做一做：计算下列各题：

(1)(x+2)(x－2); (2)(1+3a)(1－3a); (3)(x+5y)(x－5y); (4)(y+3z)(y－3z). 观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？

［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法. ［生］上面四个算式每个因式都是两项. ［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积. ［师］我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们

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的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案. ［生］解：(1)(x+2)(x－2) =x2－2x+2x－4=x2－4；

(2)(1+3a)(1－3a) =1－3a+3a－9a2=1－9a2；

(3)(x+5y)(x－5y) =x2－5xy+5xy－25y2

=x2－25y2；

(4)(y+3z)(y－3z) =y2－3yz+3zy－9z2

=y2－9z2

(如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想) ［生］从刚才这位同学的运算，我发现：

即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出同样的结果. 即

［师］你还能举两个例子验证你的发现吗？

［生］可以.例如：

(1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；

(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2.

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即

上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差. ［师］为什么会有这样的特点呢？

［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类项且系数互为相反数，所以相加后为零.只剩下这个数的平方差. ［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？

［生］可以.上述规律用符号表示为：

(a+b)(a－b)=a2－b2

①

其中a,b可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式. 利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即

(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2

［师］同学们确实不简单用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快. 你能给我们发现的规律(a+b)(a－b)=a2－b2起一个名字吗？能形象直观地反映出此规律的. ［生］我们可以把(a+b)(a－b)=a2－b2叫做平方差公式. ［师］大家同意吗？

［生］同意. ［师］好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式吗？

［生］可以.这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差. ［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算. Ⅲ.体会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，进一步熟悉平方差公式. 出示投影片(§1.5.1 B) ［例1］(1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是(

)

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A.(x+1)(1+x)

B.(1a+b)(b－1a) 22C.(－a+b)(a－b)

E.(－a－b)(a－b) D.(x2－y)(x+y2)

F.(c2－d2)(d2+c2) (2)利用平方差公式计算：

(5+6x)(5－6x);(x－2y)(x+2y); (－m+n)(－m－n). ［生］(1)中只有B、E、F能用平方差公式.因为B.(1a+b)(b－1a)利用加法22交换律可得(1a+b)(b－1a)=(b+1a)(b－1a),表示b与1a这两个数的和与差的积，22222符合平方差公式的特点；E.(－a－b)(a－b),同样可利用加法交换律得(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a),表示－b与a这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；F.(c2－d2)(d2+c2)利用加法和乘法交换律得(c2－d2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2－d2)，表示c2与d2这两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点. ［师］为什么A、C、D不能用平方差公式呢？

［生］A、C、D表示的不是两个数的和与差的积的形式. ［师］下面我们就来做第(2)题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式. ［生］(5+6x)(5－6x)是5与6x这两个数的和与差的形式；(x－2y)(x+2y)是x与2y这两个数的和与差的形式；(－m+n)(－m－n)是－m与n这两个数的和与差的形式. ［师］很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式. ［生］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x2; (x－2y)(x+2y)=x2－(2y)2=x2－4y2; (－m+n)(－m－n)=(－m)2－n2=m2－n2. ［师］这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题. 出示投影片(记作§1.5.1 C) ［例2］利用平方差公式计算：

(1)(－1x－y)(－1x+y); 44(2)(ab+8)(ab－8);

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(3)(m+n)(m－n)+3n2. ［师］同学们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同学讲评. ［生］解：(1)(－1x－y)(－1x+y)——(－1x)与y的和与差的积

444=(－1x)2－y2——利用平方差公式得(－1x)与y的平方差

44=116x2－y2——运算至最后结果

(2)(ab+8)(ab－8)——ab与8的和与差的积

=(ab)2－82——利用平方差公式得ab与8的平方差

=a2b2－64——运算至最后结果

(3)(m+n)(m－n)+3n2——据运算顺序先计算m与n的和与差的积

=(m2－n2)+3n2——利用平方差公式

=m2－n2+3n2——去括号

=m2+2n2——合并同类项至最简结果

［生］刚才这位同学的运算有条有理，有根有据，我觉得利用平方差公式计算必须注意以下几点：

(1)公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式. (2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式. (3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式. ［生］还需注意最后的结果必须最简. ［师］同学们总结的很好！下面我们再来练习一组题. 投影片(§1.5.1 D) 1.计算：

(1)(a+2)(a－2); (2)(3a+2b)(3a－2b); (3)(－x+1)(－x－1); (4)(－4k+3)(－4k－3).

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2.把下图左框里的整式分别乘(a+b),所得的积写在右框相应的位置上.

解：1.(1)(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4; (2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2; (3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1; (4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9. 2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2; (a－b)(a+b)=a2－b2; (－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2; (－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b) =－a2－ab－ab－b2

=－a2－2ab－b2

(教师在让学生做练习，可巡视练习的情况，对确实有困难的学生要给以指导) Ⅳ.课时小结

［师］同学们有何体会和收获呢？

［生］今天我们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2. ［生］应用这个公式要明白公式的特征：

(1)左边为两个数的和与差的积；

(2)右边为两个数的平方差. ［生］公式中的a、b可以是数，也可以是代表数的整式. ［生］有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式. ［师］同学们总结的很好！还记得刚上课的一个问题吗？计算992－1，现在想一想，能使它运算更简便吗？

［生］可以.992－1可以看成99与1的平方差，从右往左用平方差公式可得：

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992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800. ［师］我们发现平方差公式的应用是很灵活的，只要你准确地把握它的结构特征，一定能使你的运算简捷明了. Ⅴ.课后作业

课本习题1.9，第1题. Ⅵ.活动与探究

有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用x1,y1顺次表示第1号选手胜与负的场数，用x2,y2顺次表示第2号选手胜与负的场数，……用x10,y10顺次表示第10号选手胜与负的场数.则10名选手胜的场数的平方和与他们负的场数的平方和相等，即

x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102,为什么？

经过：由于是单循环赛，每名运动员恰好参加9局比赛，即xi+yi=9(其中i=1、2、3、…10)，在比赛中一人胜了，另一人自然败了，则x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10,这两个隐含条件是解题的关键，从作差比较入手. ［结果］由题意知xi+yi=9(i=1、2、3、…10)且x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10

(x12+x22+…+x102)－(y12+y22+…+y102) =(x12－y12)+(x22－y22)+…+(x102－y102) =(x1+y1)(x1－y1)+(x2+y2)(x2－y2)+…+(x10+y10)(x10－y10) =9［(x1－y1)+(x2－y2)+(x3－y3)+…+(x10－y10)］

=9［(x1+x2+…+x10)－(y1+y2+…+y10)］

=0 所以，x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102. ●板书设计

§1.5.1

平方差公式(一) 做一做

解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4; (2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2; (3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2; (4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2.

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归纳、猜想规律

(a+b)(a－b)=a2－b2

两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 用符号运算证明

(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2. 应用、升华

例1.(抓住平方差公式的特征，准确地利用平方差公式计算) 例2.(对公式中a、b含义的理解，既可以是具体的数也可以是整数) 随堂练***方差公式). ●备课资料

参考例题

［例1］用简便方法计算：

(1)79×81

(2)99×101×10001 解：(1)原式=(80－1)(80+1)=802－1=6399; (2)原式=(100－1)(100+1)(10000+1) =(1002－12)(10000+1) =(10000－1)(10000+1) =100002－12

=100000000－1=99999999. ［例2］计算：

(1)(b－2)(b2+4)(b+2) (2)［2a2－(a+b)(a－b)］［(c－a)(a+c)+(－c+b)(c+b)］

分析：(1)题可利用乘法交换律和结合律，先求(b－2)与(b+2)的积，所得结果再与(b2+4)相乘，可两次运用平方差公式；(2)题根据混合运算的运算顺序，先算括号里的算. 解：(1)(b－2)(b2+4)(b+2) =［(b－2)(b+2)］(b2+4) 其中(a+b)(a－b),(c－a)(a+c),(－c+b)(c+b)都可直接运用平方差公式计

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=(b2－4)(b2+4) =(b2)2－42

=b4－16 (2)［2a2－(a+b)(a－b)］［(c－a)(a+c)+(－c+b)(c+b)］

=［2a2－(a2－b2)］［(c+a)(c－a)+(b－c)(b+c)］

=［2a2－a2+b2］［c2－a2+b2－c2］

=(a2+b2)(b2－a2) =(b2)2－(a2)2

=b4－a4

［例3］计算：

(1)(x+2y)(－x+2y) 4343(2)(a+b－c)(a－b+c) (3)(x+3y)2(x－3y)2(x2+9y2)2

分析：(1)题中，可把相同的项放在对应的位置上，再把互为相反数的项放在对应的位置上，使之满足(a+b)(a－b),然后用平方差公式；(3)题先逆用积的乘方公式，然后用平方差公式. 解：(1)(x+2y)(－x+2y) 4343=(2y+x)(2y－x) 33434=(2y)2－(x)2

4=4y2－9116x2

(2)(a+b－c)(a－b+c) =［a+(b－c)］［a－(b－c)］

=a2－(b－c)2

=a2－(b2－2bc+c2) =a2－b2+2bc－c2

(3)(x+3y)2(x－3y)2(x2+9y2)2

=［(x+3y)(x－3y)(x2+9y2)］2

=［(x2－9y2)(x2+9y2)］2

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=［x4－81y4］2

=x8－162x4y4+6561y8.

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