3.3 幂函数教学设计内容推荐

3.3

幂函数

一、引入新课

(一) 回顾引入

本部分结合旧知，给出以下函数

(1)yx,(2)yx,(3)yx,(4)yx,

2312(5)yx1,(6)yx0,(7)yx2

【师生互动】师：1.这些函数是咱们以前学过和接触过的函数，同学们有没有想过这些函数的表达式有什么共同的特征？

生：这些函数都是幂的形式，并且幂指数不同，但底都是x。

2.如果把这些函数看成一类函数，那么这类函数表达式的一般形式又应该如何表示？

生：可以看成同一类函数，底都一样，不同函数幂指数不同，表达式应该表示为

yxa。

3. 那么上面这个解析式中谁是自变量呢？a是什么呢? 生：yxa

中底数x是自变量，a是常数。

4.那么这一类函数应该如何命名呢？你觉着叫什么名字比较合适，这里常用来表示常数，哪位同学能试着给这类函数下个定义？

生:因为都是幂的形式，底数x是自变量，所以我觉着应该叫幂函数。

生：一般地，形如yx的函数称为幂函数(power function) ，其中x为自变量，为常数。

【设计意图】（1）引导学生从学过的具体函数出发，发现问题，抽象出幂函数的数学模型。学生对比已经学过的特殊函数(1)yx,(2)yx2,(3)yx3,(4)yx,

12(5)yx1,(6)yx0,(7)yx2，发现是yx是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣（2）通过一步步层层深入的设问引导，使学生

发现问题，解决问题，并培养学生的数学抽象的能力。

二、探究新知

通过回顾引入师生共同抽象出幂函数的定义。

1．幂函数的定义

一般地，形如yx（R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数. 如(1)yx,(2)yx,(3)yx,(4)yx,(5)yx1,(6)yx0,

2312(7)yx2等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 【师生互动】师：1．幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．

练习1.判断下列函数中，哪些是幂函数？

（1）y =x ,（2）y=2x,(3）yx,（4）y=2 , (5) y=x+2 ,(6) y=(x-1)2.若幂函数f(x)图像过点(2,2)，则f(9)= 3.若函数f(x)=(m-2m-2)x为幂函数，则m的值为。

2m-2

2 32x3 3 【设计意图】巩固定义，强化所学新知，为后面研究幂函数性质打下良好的基础。

2．研究函数的图像

(1)yx,(2)yx,(3)yx,(4)yx,

2312(5)yx1,(6)yx0,(7)yx2

生：利用所学知识和方法尝试作出七个具体幂函数的图象，观察所作图象，体会幂函数的变化规律．

师：引导学生应用函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．

师生共同分析：强调画图象易犯的错误．

【设计意图】(1)通过具体作图，可使学生加深对图象的直观印象，记忆比较牢固；同时也提高了学生数形结合的思维能力；(2)符合学生的认知规律，由特殊到一般，从具体到抽象；（3）充分发挥学生学习的能动性，以学生为主体，展开课堂教学.

(-2,4)y=x-24y=x3幂函数yx(R)有哪些性质？(-1,1)-6-4-2(2,4)y=x2y=x(4,2)13y=x221(1,1)2y=x-14y=x06(-1,-1)-1-2-3-4

【师生互动】师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律．

生：观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填表．

定义域

值域

奇偶性

单调性

定点

师生共同分析幂函数性质：

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间(0,)上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；

（3）0时，幂函数的图象在区间(0,)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无yx

yx2

yx3

yx

12yx1

y=x-2

y=x0

限地逼近x轴正半轴．

（4）幂函数在第一象限都有图象，在第四象限都没有图象。

【设计意图】

锻炼学生对数学问题进行归纳总结、类比的能力，培养学生数形结合意识和进行合作探究的意识。

三、理解新知

例1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：

（1）5.20.8,5.30.8

（2）0.2,0.3

（3）1.12,0.91120.30.3

（4）

232352525a(),b(),c()利用幂函数或指数函数比较大小关键在于构造出适当的函数。 5551.若指数相同底数不同，考虑幂函数； 2.若指数不同底数相同，考虑指数函数； 3.若底数指数都不同，经常要引入中间量。 例2 讨论函数yx23的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性

【师生互动】师：引导学生回顾讨论函数性质的方法，规范解题格式与步骤．

并指出函数单调性是判别大小的重要工具，

生：独立思考，给出解答，共同讨论、评析．

思考：如何做出幂函数的图象？

1. 把幂函数化成根式，判断定义域、奇偶性。

2. 观察的值，确定幂函数在第一象限的大致走势。

3. 描点（特殊点）、画图象。

【设计意图】使学生能根据幂函数的单调性，比较同指数的两个幂函数值的大小（其目的是培养学生用函数的观点解决问题的思想）,并且加深学生对性质的理解。而（4）的设计则是与指数函数形成对比，让学生更熟练的掌握何时是幂函数值比较大小，何时是指数函数值比较大小，何时需要引入中间量（指数函数和幂函数区别与联系一个难点，让学生在自己解决问题的过程中突破难点显得自然）。例2则是让学生理解幂函数的图象可以在单调性、奇偶性基础上较快描出．

四、运用新知

练习5.已知幂函数f(x)(m2m1)xm值，并画出幂函数图象。 【设计意图】通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人，更可加深对所得到结论的理解。

当堂练习：

1.

已知幂函数f(x)kx(kR,R)的图象过点(1

,则

k

2,2)2.设a(),b(),c()

，则a,b,c的大小关系是

23232523132322m3,且当x(0,)时为减函数，求实数m的3.函数yx2在区间[2,1上的最大值是

2]4.若(a1)2(32a)2，则实数a的取值范围为

【设计意图】

巩固学生对函数单调性证明的掌握程度，加深对幂函数进一步的理解,

体现了以学生练为主体，提高学生推理的能力

11五、课堂小结

提问方式

（1）谈谈今天你的收获是什么？

【设计意图】(1)因为学生的能力层次参差不齐，上完一节课之后未必每个学生都能接受全部的知识内容，因而必须给出适当的时间让他（她）们去理清知识脉络.

（2）归纳整理知识，形成知识网络让学生进一步体会数形结合思想在本节课中的应用。

六、布置作业

课后书面作业

1、必做题 课本110页A，1（1），2（3），

3,

4，B,1.

2、选做题：课本110页B，3

课后思考作业：

1．谈谈七个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？

2．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面？

【设计意图】作业(必做题)按循序渐进的原则布置，既巩固本节课所学知识，又培养学生自觉学习的习惯，同时也锻炼了学生的解题能力；而选做题是提高型题，它是为了使高层次的学生在理解概念的基础上能力能够得到提高，进而拓宽学生的视野，增强学生思考问题的逻辑性，严密性. 七、教后反思

在研究幂函数时，先让学生类比研究指数函数和对数函数的思路，给出研究幂函数性质的思路，并通过自主探索、合作学习，引导学生画出常见的幂函数图象，并引导学生观察图象，概括出幂函数的性质，再次体现了新课程注重数学思考和合作探究的理念，这是本节亮点，不足之处是：学生对幂函数图象变化快慢的趋势掌握的较差．

八

板书设计

课题

幂函数

1 引入新课

定义

2作图

研究性质

3例题讲解

4探究新知

讲评

5总结规律

6作业