3.4.1 函数与方程教案和学案内容

函数与方程

考试要求

函数的零点与方程根的关系，一元二次方程根的存在性及根的个数的判断，B级要求．

【知识梳理】

1．

函数的零点

⑴把使函数yf(x)的值为

的实数x称为函数yf(x)的零点．

⑵函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的

，从图象上看，函数yf(x)的零点就是它的图象与x轴交点的

．

2．

零点存在定理

若函数yf(x)在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线，且

，那么函数yf(x)在区间

上有零点．

3．

二分法

对于在区间a,b上连续不断，且

的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)

的零点所在的区间一分为二，使区间端点的两个值逐渐逼近f(x)的零点，进而得到函数零点的近似值的方法叫做

．

4．

二次函数y＝ax＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系

Δ>0

Δ＝0

Δ<0 2二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a>0)的图象

与x轴的

交点个数

零点个数

【基础训练】

无交点

21．若函数f(x)axb的零点是3，那么函数g(x)bxax的零点是

．

2．(必修1P111复习13改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________．

1

3．(2015·安徽卷改编)在函数①y＝cos x；②y＝sin x；③y＝ln x；④y＝x2＋1中，既是偶函数又存在零点的是________(填序号)．

4已知函数f(x)x2xa(a0)在区间0,1上有零点，则a的取值范围是

．

2ln x－x＋2x，x＞0，5．(2017·苏北四市调研)函数f(x)＝的零点个数是_______

4x＋1，x≤0

【典型例题】

考点一

函数零点的判断与求解

【例1】

(1)函数f(x)＝1－2x的零点个数为________．

0，0＜x≤1，(2)(2015·江苏卷)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝2

|x－4|－2，x＞1，则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．

x2－1，x≤1，【训练1】

(2017·南京、盐城模拟)已知函数f(x)＝则函数f(x)1＋log2x，x＞1，

的零点为________．

考点二

根据函数零点存在情况，求参数的取值范围

【例2】

(2014·江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，1f(x)＝x2－2x＋2.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．

322x＋3x＋m，0≤x≤1，【训练2】

(2017·南通、淮安三调)已知函数f(x)＝若mx＋5，x>1，

函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围是________．

考点三

二次函数的零点问题

【例3】

已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R. (1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；

(2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范

2

围．

【训练3】

已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．

【课后检测】

1若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．

2已知函数f(x)＝ln x－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1) (k∈N*)，则k的值为_________ 3．函数f(x)＝|x|－k有两个零点，则实数k的取值范围是________．

4．当x(1,2)时，不等式xmx40恒成立，则m的取值范围是______________．

x2－1，x＞0，5．已知函数f(x)＝2若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实－x－2x，x≤0，2

数m的取值范围是________．

16．(2017·泰州联考)若x1，x2是方程2x＝2的两个实根，则x1＋x2＝________. x3,(x1)7．

f(x)

则函数g(x)fx3x的零点个数为______________．

2x2x3,(x1)

8.已知函数f（x）满足f(x+1)＝1，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，f(x)若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是

3

2ax2x1,x09．已知函数f(x)，若方程f（x）=0有3个不等的实根，ax3,x0则实数a的取值范围是

xx+110．函数f（x）=9-m•3，若存在实数x0使得f（-x0）=-f（x0）成立，则实数m的取值范围是

11. ⑴若函数f(x)ax2x1有且只有一个零点，求实数a的值．

2⑵若函数f(x)4xxa有4个零点，求实数a的取值范围．

12．(2017·南通阶段检测)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

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