3.4.2 函数模型及其应用优秀教学设计范文

2017－2018学年度高三理科数学一轮复习教案

第2章

函数与基本初等函数Ⅰ

第14课

函数模型及其应用

运用所学函数知识和方法解决以初等函数为数学模型的实际问题，进一步培养阅读目

标

理解、数学建模、分析问题的能力．

重

点

运用所学函数知识和方法解决以初等函数为数学模型的实际问题

难

点

运用所学函数知识和方法解决以初等函数为数学模型的实际问题

过

程

内

容

札

记

【课前预习】

课

题

1．（必修1P110练习1改编）某地高山上温度从山脚起每升高100 m 降低0．6 ℃．已知山顶的温度是14．6 ℃，山脚的温度是26 ℃，那么此山的高为

m．

2．（必修1P32习题12改编）某商品的单价为5 000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件，则每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元．某单位购买x件（x∈N*，x≤15），设最低的购买费用是f（x），则f（x）的解析式是

．

3．（必修1P71习题10改编）已知某种产品今年产量为1 000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为

件．

4．（必修1P31习题3改编）近几年由于房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．已知小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格y（单位：万元）与价格年膨胀率x之间的函数关系式是

．

5．

（必修1P100练习3改编）某商品在近30天内每件的销售价格P（单位：元）与销售时间t（单位：天）的函数关系为P=t∈N，且该商品的日销售量Q（单位：件）与销售时间t（单位：天）的函数关系为Q=-t+40（0

天．

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第2章

函数与基本初等函数Ⅰ

【典型例题】

例1

某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（单位：万元）与年产量（x单位：t）之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8 000，

已知此生产线年产量最大为210 t．

（1）

求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本．

（2）

若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润?最大利润是多少?

变式

（2016·苏州暑假测试）如图，相距14 km的两个居民小区M和N位于河岸l（直线）的同一侧，M和N到河岸的距离分别为10 km和8 km．现要在河的小区一侧选一地点P，在P处建一个生活污水处理站，并从P分别排设到两个小区的直线水管PM，PN和垂直于河岸的水管PQ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ段水管的长为t km（0

（1）

求污水处理站P到两小区水管的长度之和的最小值（用t表示）；

（2）

试确定污水处理站P的位置，使所排三段水管的总长度最小，并分别求出此时污水处理站到两小区水管的长度．

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第2章

函数与基本初等函数Ⅰ

例2

经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为销售时间t（单位：天）的函数，且日销售量近似地满足g（t）=-t+（1≤t≤100，t∈N）．前40天价格为（ft）=t+22（1≤t≤40，t∈N），后60天价格为（ft）=-t+52（41≤t≤100，t∈N），试求该商品的日销售额S（t）的最大值和最小值．

例3

某工厂去年某产品的年销售量为100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g（n）=（k>0，k为常数，n∈Z且n≥0）．设产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f（n）．

（1）求k的值，并求出f（n）的表达式．

（2）若今年是第1年，则第几年年利润最高?最高利润为多少万元?

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函数与基本初等函数Ⅰ

变式

（2015·常州期末）如图，某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2

的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m 宽的通道．设矩形温室的室内长为x（单位：m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（单位：m2）．

（1）

求S关于x的函数关系式；（2）

求S的最大值．

例4

已知某物体的温度θ（单位：℃）随时间t（单位：min）的变化规律为θ=m·2t+21-t（t≥0且m>0）．

（1）

如果m=2，求经过多少时间，物体的温度为5 ℃；

（2）

若物体的温度总不低于2 ℃，求实数m的取值范围．

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函数与基本初等函数Ⅰ

【课堂反馈】

1．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为

．

2．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km（不超过3 km按起步价付费）；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2．15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2．85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22．6元，则此次出租车行驶了

km．

3．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2（单位：m/s），其中Q表示燕子的耗氧量．当一只两岁燕子静止时的耗氧量是

个单位．

4．

（2015·邗江中学）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为

．（参考数据：lg 2=0．301 0，lg 3=0．477 0）

5．某种树苗栽种时高度为A（A为常数）m，栽种n年后的高度记为f（n）（单位：m）．经研究发现f（n）近似地满足f（n）=，其中t=，a，b为常数，n∈N，f（0）=A．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．

（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍? （2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大?

后

记

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