2.1.1 函数的概念和图象名师课堂实录

第8课时

函数的概念和图象

【学习目标】

1．理解函数的概念，明确函数的三个要素；

2．学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法；理解静与动的辩证关系. 【课前导学】

（一）引入问题

【问题1】

初中我们学过哪些函数？

答：正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数．

【问题2 】初中所学函数的定义是什么？

答：设在某变化过程中有两个变量x和y，如果给定了一个x的值，相应地确定唯一的一个y值，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．

（二）函数感性认识

【引例1】炮弹飞行时间的变化范围是数集A{x0x26}，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集．从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个B{h0h845}，对应关系h130t5t2

（*）时间t，按照对应关系（*），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应．

【引例2】中数集A{t1979t2001}，B{S0S26}，并且对于数集A中的任意一个时间t，按图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应．

【引例3】中数集A{1991,1992,,2001},B{53.8,52.9,,37.9(%)}，且对于数集A中的每一个时间（年份），按表格，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应．

【课堂活动】

一．建构数学：

（一）归纳总结给函数“定性”

归纳以上三例，三个实例中变量之间的关系都可以描述为两个数集A、B间的一种对应关系：对数集A中的每一个x，按照某个对应关系，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作f:AB．

（二)理性认识函数的定义

设A．B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数（function），记作yf(x),xA，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain），与x的值相队对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)xA}叫做函数的值域(range)．

定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；

（1）对应法则：f(x)是一个函数符号，表示为“y是x的函数”,绝对不能理解为“y等于f与x的乘积”，在不同的函数中，f的具体含义不一样；

y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)．F(x)．G(x)等符号来表示；

自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示．如函数f(x)=x+3x+1,2

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当x=2时的函数值是：f(2)=2+3×2+1=11．

注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值．

（2）定义域是自变量x的取值范围；

【注意】①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；

如：y=x(xR)与y=x(x>0)； y=1与y=x220 2 ②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，2还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围； 如：一个矩形的宽为xm，长是宽的2倍，其面积为y=2x，此函数的定义域为x>0,而不是xR．

（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定．

二．应用数学：

例1 判断下列对应是否为函数：

（1）x1,x0,xR；

x2（2）xy，这里yx,xN,yR．

分析：依据函数的定义．（解答见教材P23

例1）

例2 已知函数f(x)x31， x2（1）求函数的定义域；

（2）求f(3),f()的值；

（3）当a>0时，求f(a),f(a1)的值．

【思路分析】函数的定义域就是指能使表达式有意义的实数的集合．

解：略．

例3 求下列函数的定义域：

11(1)f(x)＝

；

(2)f(x)＝3x＋2 ；

(3)f(x)＝x＋1 ＋

．

x－22－x1解：(1)x－2≠0，即x≠2时，

有意义，

x－2∴这个函数的定义域是{x｜x≠2}．

2(2)3x＋2≥0，即x≥－3

时3x＋2 有意义，

2∴函数y＝3x＋2 的定义域是[－3

，＋∞）．

23

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x＋1≥0x≥－1(3) 



，

2－x≠0x≠2∴这个函数的定义域是{x｜x≥－1}∩{x｜x≠2}＝[－1，2）∪（2，＋∞）．

【说明】

给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合．

从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：

（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；

（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

（3）如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；

（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；

（5）如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．

由上可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定．

例4 下列函数中哪个与函数yx是同一个函数？

x；⑵yx；⑶yx．

解：⑴yx＝x（x0）,y0，定义域不同且值域不同，不是；

⑴y23322⑵y3x3＝x（xR）,yR，定义域值域都相同，是同一个函数；

⑶yx,x0,y0；值域不同，不是同一个函数

x2＝|x|=xx0【解后反思】

判断两个函数是否相同，要看定义域和对应法则是否完全相同．只有完全一致时，这两个函数才算相同．

例5 求函数f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3}的值域．

略解：值域为{2,1,5,} ．

注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应. ②符号“f：A→B”表示A到B的一个函数，它有三个要素；定义域．值域．对应关系，三者缺一不可. ③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性. ④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样. ⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.

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三．理解数学：

1．求下列函数的定义域：

（1）f(x)11；(2)f(x)x4x2；(3) f(x)x12x(12x)(x1)2．求下列函数的值域：

(1)y＝1－2x

（x∈R）；

(2)y＝｜x｜－1

x∈{－2，－1，0，1，2}；

(3)y＝x2＋4x＋3

（－3≤x≤1）．

分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域. 对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域. 对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”. 解：(1)y∈R

(2)y∈{1，0，－1} (3)画出y＝x2＋4x＋3（－3≤x≤1）的图象，如图所示，

当x∈[－3，1]时，得y∈[－1，8]

【课后提升】

1．下列各组中的两个函数是否为相同的函数？

①y1②y1(x3)(x5)，y2x5

（定义域不同）

x3x1x1

，y2(x1)(x1)

（定义域不同）

③f1(x)(2x5)2，f2(x)2x5

（定义域．值域都不同）

2．函数yf(x)的图象与直线x1的公共点数目是

．0或1

3．求函数f(x)=(x-1)2+1的值域．（答：{y|y≥1} 4．求下列函数的定义域：1）y=11

2）y=．

11|x|x2x2答案：（1) {x|x∈R,且x≠±1}；

（2）{x|xx∈R,且x≠1,2,3}．

5．某细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，将细胞分裂的个数y表示为分裂次数x的函数．

（答案y=2x,x∈N）

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