2.2.1 函数的单调性教学评价实录

第二节

函数的单调性与最值

知识回顾：

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义：

增函数

减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2

定义

当x1f(x2)，当x1

是单调减函数

自左向右看图象是逐渐下自左向右看图象是逐渐上升的

降的

(2)如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有(严格的)单调性．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．

2．函数的最值

前提

设函数y＝f(x)的定义域为A

如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈条件

A，都有f(x)≤f(x0)

A，都有f(x)≥f(x0) 称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin结论

＝f(x0)

＝f(x0) 二、必记结论

1．函数单调性的两种等价形式

设任意x1，x2∈[a，b]且x1

fx1－fx2fx1－fx2(1)>0⇔f(x)在[a，b]上是单调增函数；＜0⇔f(x)在[a，b]上是单调减x1－x2x1－x2函数．

(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是单调增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是单调减函数．

2．函数的值域和最值的区别与联系

(1)函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；

(2)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．

图象描述

a[例1]

判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明．

xaax1＋－x2＋＝(x1－x2)＋[听前试做]

法一：任意取x1>x2>0，则f(x1)－f(x2)＝x1x2a－a＝(x1－x2)＋ax2－x1＝(x1－x2)1－a. x1x2x1x2x1x2a当a≥x1>x2>0时，x1－x2>0,1－<0，

x1x2有f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

a故函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，a)上为单调减函数；

x

a>0，

x1x2有f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

a故函数f(x)＝x＋(a>0)在[a，＋∞)上为单调增函数．

xa综上可知，函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，a)上为单调减函数，在[a，＋∞)上为单调增x函数．

aa法二：f′(x)＝1－2.令f′(x)>0，则1－2>0，

xxa解得x>a或x<－a(舍)．令f′(x)<0，则1－2<0，

x解得－a0，∴0

当x1>x2≥a时，x1－x2>0,1－判断函数单调性的方法

(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．

(2)复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为单调增函数；若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]为单调减函数．

ax试讨论函数f(x)＝2，x∈(－1,1)的单调性(其中a≠0)．

x－1解：设－1＜x1＜x2＜1，

ax1ax2ax2－x1x1x2＋1则f(x1)－f(x2)＝2－2＝. 2x1－1x2－1x21－1x2－12∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x21－1＜0，x2－1＜0，－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0. x2－x1x2x1＋1∴2＞0. x1－1x22－1因此，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，

∴f(x1)＞f(x2)，此时函数f(x)在(－1,1)上为单调减函数；

当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，

∴f(x1)＜f(x2)，此时函数f(x)在(－1,1)上为单调增函数．

[例2]

求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．

[听前试做]

－x＋2x＋1，x≥0，－x－1＋2，x≥0，f(x)＝＝

22－x－2x＋1，x＜0－x＋1＋2，x＜0.画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－2

2

1,0]和[1，＋∞)．

[探究1]

若将本例中函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？

解：函数y＝|－x＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2)和(1，1＋2)．

[探究2]

若将本例中函数变为f(x)＝－x2＋2|x|＋1，如何求解？

解：由－x2＋2|x|＋1≥0，得1－2≤|x|≤1＋2，

又|x|≥0，∴0≤|x|≤1＋2，

即－1－2≤x≤1＋2. 根据函数图象可知，f(x)的单调递增区间为[－1－2，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1,1＋2 ]．

2[探究3]

若将本例中函数变为f(x)＝log1(－x2＋2|x|＋1)，如何求解？

2解：要使函数有意义，应有－x＋2|x|＋1>0，即－1－2

222∴函数f(x)＝log1(－x2＋2|x|＋1)的单调递增区间为(－1,0)和(1,1＋2)，单调递减区间为2(－1－2，－1)和(0,1)．

函数单调区间的求法

(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等．

(2)如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．

设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝fx，fx≤k，1－取函数f(x)＝2|x|.当k＝时，函数fk(x)的单调递增区间为________．

2k，fx＞k.

1解析：由f(x)>，得－1

21由f(x)≤，得x≤－1或x≥1. 211所以f(x)＝2，－1＜x＜1，22，x≤－1.x2x，x≥1，－

1故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．

2答案：(－∞，－1)

高考对函数单调性的考查多以填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中，且主要有以下几个命题角度：

角度一：利用函数的单调性比较大小

[例3]

(2014·山东高考节选)已知实数x，y满足ax

11①2>2；②ln(x2＋1)>ln(y2＋1)；

x＋1y＋1③sin x>sin y；④x3>y3. [听前试做]

根据指数函数的性质得x>y，此时x2，y2的大小不确定，故①②中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，③中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，④中的不等式恒成立．

答案：④

角度二：利用函数的单调性解决不等式问题

[例4]

(2013·天津高考节选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(log1a)≤2f(1)，则a的取值范围是________．

2[听前试做]

由已知条件得f(－x)＝f(x)，则f(log2a)＋f(log1a)≤2f(1)⇒f(log2a)＋f(－2log2a)≤2f(1)⇒f(log2a)≤f(1)，

又f(log2a)＝f(|log2a|)且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，

1所以|log2a|≤1⇒－1≤log2a≤1，解得≤a≤2. 21答案：2，2

角度三：利用函数的单调性求参数

3a－1x＋4a，x<1，fx1－fx2[例5]

已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有x1－x2logax，x≥1<0成立，则实数a的取值范围为________．

[听前试做]

据题意，要使原函数在定义域R上为减函数，只需满足

3a－1<0，0

11解得≤a<. 73角度四：利用函数的单调性求解最值(或恒成立)问题

11[例6]

(2015·徐州模拟)函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a3x－1＋b＝________. [听前试做]

易知f(x)在[a，b]上为减函数，

1＝1，fa＝1，a－1a＝2，∴即∴

111b＝4.fb＝3，＝，b－13



∴a＋b＝6. 答案：6

函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．

(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．

1a－x，x≥1，41．(2015·苏州模拟)已知函数f(x)＝在R上为单调减函数，则实数a

ax，x<1

的取值范围是________．

解析：由于函数f(x)为R上的单调减函数，所以满足0

答案：41a－＜0，4

1解得0g(1)，则x的取值范围是________．

解析：因为函数f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，g(x)＝f(|x|)，g(lg x)>g(1)，所以|lg x|>1，1解之得x>10或0

x1(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；

2(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．

117解：(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2在[1，＋∞)上为单调增函数，f(x)min＝f(1)＝. 22x2a(2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．

x①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为单调增函数，

最小值为f(1)＝a＋3. 要使f(x)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3>0，即a>－3，所以－3

f(x)min＝f(1)＝a＋3.所以a＋3>0，a>－3. 所以01时，f(x)在[1，a

]上为单调减函数，在(a，＋∞)上为单调增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上的最小值是f(a)＝2a＋2，2a＋2>0，显然成立．

综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3，＋∞)．

⊙1个防范——函数单调区间的表示

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

⊙2条结论——函数最值的有关结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．

⊙4种方法——函数单调性的判断方法

(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．

(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为单调增函数，不同时为单调减函数．

(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．

(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．