6.4 用一次函数解决问题教案2

课题：用一次函数解决问题（2）（八年级）

【教材分析】

本节教材是一次函数图像在实际问题中的应用，“图上作业法”是首次解决一些实际问题的重要手段，既为下一节内容做铺垫，也为以后用其它类型的函数图像解决问题提供经验.就本节素材而言经历了“识图——用图——想图”三个活动，这三个活动的功能各异，活动一重在识图，在实际的情境中理解“上升快慢的实际意义”和“正确决策方法的探索”，理解交点意思；活动二重在用图，自主建构“一次函数”数学模型，借助图像分析两种运输方案的优劣，发现交点意义，体验图像在解决实际问题时的应用；活动三重在想图，让学生感受不同走势“折线段”的意蕴，感悟到数与形的内在联系，更深刻理解“模型思想”. 【学情分析】

学生已经知道一次函数的概念与性质，也会能运用方程模型解决简单的实际问题，但运用一次函数的知识解决实际问题尚属首次，特别是同一坐标系内不同图像之间的区别是学生理解的难点，可能存在三个方面的困惑：其一，不清楚“上升的快慢”与“k”之间的关系；其二，不清楚“图像的交点坐标”与“函数表达式”之间的关系；其三，不清楚“折线的意义”与“实际问题”之间的对应关系.每个困惑都体现着“抽象”“建模”等数学基本思想. 【教学目标】

1.能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的表达式.通过用一次函数表述数量变化及其关系的过程，体会模型思想. 2.能用一次函数解决简单实际问题，在此过程中，感悟数学具有抽象性、严谨性和应用的广泛性，体会数学的价值. 3.经历经历“问题情境—建立模型—求解验证”的数学活动，初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单实际问题，增强应用意识，提高实践能力. 【教学重点、难点】

因为一次函数学习的目的是为了解决实际问题，所以本节课的教学重点是在实际问题中认识图像和应用图像，更好的感悟数与形的内在联系。

由于一次函数图像的陡峭程度反应着因变量与自变量之间在一定范围内的变化情况，视觉上的关注要从点向线转变，但又要回归到线上的两点分析陡峭程度的实际意义，因此图像的走势所对应的实际意义是学生学习的难点。

【教学设计】

一、前置学习

问题1

元旦将至，小明的爸爸准备租车外出旅游，从甲、乙两家出租汽车公司收取的租车费y1（元）、y2（元）都是用车里程x（千米）的函数，它们的图像如图. y(元）

1.请写出这两个函数图像的共同点与不同点. y1=k1x

共同点：

4000

y2=k2x+1000

3000

不同点：

2000

1000

o1000200030004000x(千米）

设计意图：遵循“简单、根本、开放”的原则设计了一道“开放性”的问题，在实际情境下理解点所表示的实际意义，感受线的陡峭程度所表示的实际意义。

二、课堂教学

（一）自主尝试，认识图像

1.点、线的认识

2.问题提出与解惑

问题1

若用车里程为1000千米，选用哪家出租汽车公司？

方法： 数 形

确定自变量x，比较y的值. 判断直线x=1000与两直线交点的高低

以下问题有学生分小组提出，并给出解决问题的方法：

问题2 用车里程为多少时，乙公司的租车费用比甲公司少？

方法： 数 形

确定自变量x的范围，使得y2

问题3 ……

问题2

小明的爸爸骑车从家出发到某出租汽s(m)车的公司洽谈租车事宜，他离家的路程s（km）与出发的时间t（min）之间的关系如图所示，请回答问6000题：

1.出租汽车公司离家

km；

2.小明爸爸在出租汽车公司停留了

min；

3.小明爸爸回家时的速度为

km/min；

t(min)30O601004.若小明在爸爸离家30min后出发匀速骑车迎接爸爸回家，当他出发35min时恰好遇到回家路上的爸爸，请在所给的坐标系中画出小明这段时间离家路程与爸爸出发时间之间的函数图像；

5. 小明骑车的速度

爸爸前往租车公司时速度.（填“＜，＞或＝”）

（二）建立模型，运用图像

问题3 某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地，有两种运输方式可供选择，主要参考数据如下：

运输方式

汽车

火车

速度/（千米/小时）

60 100 途中综合费用/（元/时）

240 250 装卸费用/元

250 400 1.请分别写出汽车、火车运输的总费用y1（元）、y2（元）与运输路程x（千米）之间的函数关系；

y(元）2.你认为用哪种运输方式较好？

1000

900

800

700600

500

400

300200

100

x(km)O20406080100120140160180200

探究活动：

第一步

理解题意

1.表格中每一数据表示的意义；（文理关）

2.总费用与哪些量有关？用这些量怎样表示？（事理关）

第二步

数学表示

比较y1与y2的大小.

第三步

数学求解

方法1

作差法

方法2 图像法

（数理关）

第四步

检查验证

是否符合实际问题的解：图像是两条射线，自变量x为非负数.

拓展

运输方式

汽车2 学生读题，教师提问

学生思考，小组讨论

教师提问，学生回答

各选其一，展评结合

组内完善，全班补充

若另一辆汽车沿着高速公路把一批新鲜蔬菜运往外地，其参考数据如下：

速度/（千米/小时）

100 途中综合费用/（元/时）

300

装卸费用/元

300

问题：当运输里程数满足什么条件时选择在高速公路上的运输方式？

（既是巩固上述解法，也是让学生感受图像法的优越性）

（三）构造情境，展想图像

问题

根据图中的函数图像，说出x，y变化过程的实际意义，线段AB与x轴平行，点C在x轴上. y

（要求自己给出数据，自主设计问题情境.）

AB

情境1 （行程问题）如问题2

情境2（价格问题）

情境3（几何背景的问题）

……

xCo

（四）课堂小结，慧悟图像

函数关系式

方程、不等式

数

抽象

图像的交点实际数量

问题

坐标，不等关系

式的解等. 函数图像

点、线的位置

形

基于GBR视角的课堂教学设计与实施

一、从哪里来？到哪里去？怎么去？（自然性）

从章节看：概念——图像与性质——应用——图像法解方程、不等式等. 从方法看：前一节课将实际问题转化为一次函数，主要运用函数关系式，通过方程、不等式建立之间的联系；由于函数具有“数与形”的二重性，本节课在研究方法的获得上应很自然地“由数想形”，运用函数图像的直观性解决问题。两者之间“形异实同”、“辩证统一”、“浑然一起”。（如下图）

由上有知，自然性就是遵循教学的结构规律和学生的认知规律。

函数关系式

方程、不等式

数

抽象

图像的交点

实际数量坐标，不等问题

关系

式的解等.

函数图像

点、线的位置

形

二、数学核心素养如何在本节课中落地？（开放性）

数学核心素养包括数学运算、逻辑推理、数学抽象、直观想象、数据分析和数学建模，整个过程就是三件事：培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界（史宁中教授语）。为此，教学过程作了如下设计：

研学环节

数学的眼光

数学的思维

数形结合

函数方程

……

数学的语言

交点→方程

方向→比例系数

高低→不等式

射线→自变量为非负数

……

选择运输方式→比较代数式的值的大小；

选择运输方式→观察图像高低；

……

图像的起点、终点→某种实际意义的形势；

图像的增减性→某种实际意义的走势；

……

前置学习

（识图）

用图像呈现信息

应用体验

建立方程、不等式、函数（用图）

等数学模型

抽象转化

数形结合

函数方程

……

直观想象

数形结合

数学建模

……

构造情境

（想图）

用图像描述生活. 三个研学环节中，都体现着开放式教学：

“前置学习”环节中，让学生写出两个图像的异同之处，体现了“简单、根本、开放”的基本原则，视角不同获得的结论也不一样。如从图像的形状看，它们都是射线；从公共点的意义看，表示里程数为2000km时所租车费用相等；从走势看，随着里程数的增加租车费用的也增加；…….不同点选择的视角可以更多，如射线的端点不同，表示起租费不等；上升的速度不同，说明比例系数k不等；位置的高低不同，表示相同的里程数所租车的费用不等；……

在“应用体验”环节中也体现着“开放”式的教学，方法的选择不限于图像法，两种方法两个视角，通过解法的“开放”，让两种方法相互联系、交相辉映。

最后“构造情境”这一环节，更是具有“开放性”，一图多景，各美其美，美美与共，但“天下大同”（表达一种图像）。

设问开放，让学生有话可讲，让学生的思维在对话（与文本对话、与同伴和师生对话、与自我对话）交流中动起来，对待学生的回答多予以鼓励，用开放的设问、开放的表达、开放的展示和开放胸怀让学生产生思考、激活思维、感悟思想。

三、如何发生真正的学习？（自主性）

学习是指个体在生活过程中通过获得直接或间接经验（知识）而产生的行为或思想上的相对持久的变化。

学习是一个循序渐进、由浅入深、深入浅出的过程，连续性中又具有鲜明的层次性和阶段性特征。结合个体的能动水平、对知识掌握状态及觉悟程度的不同，可将“学习”由浅入深分为三重境界，并归纳提炼出如下逻辑关系：

听与看——接受——识得——知识层面——知识——知。

练与用——模仿——习得——技能层面——技能——术。

思与觉——内化——悟得——价值层面——智慧——道。

因为发生真正的学习具有“速、固、活”特征。速，指学习的快慢程度；

固，指学习的巩固程度；活，指学习的灵活程度。不同的学习内容可以选择不同的方式，获得不同的学习程度。

教的秘诀在于“度”，学的真谛在于“悟”。悟得是指通过思与觉，内化所学内容成为自己智慧的一部分，从而使自己的价值层面得到改变的过程。知识是外在于人的，是一种可以量化的“知道”，只有在“悟”的过程中，让知识进入人的认知本体，悟有所得，才能称为素养。悟得的是一种意义理解，是一种规律性的认识，是一种智慧，是“道”。

“悟得”的切入点是“自主”，自主是合作的前提，是探究的基础。在“前置学习”环节中，展示交流后让学生自主反思“意、数、形”之间的对应关系，自觉领悟“数形结合”的思想。在“应用体验”环节中，从“列式、画图、比较”等活动引导学生自主建构“一次函数”数学模型，在拓展环节中更是让学生独立思考后体悟图像法的优越性。在“构造情境”环节中也不忘让学生自主思考图像的意义。

回到发生真正学习的话题，我认为“悟得”是发生真正学习的标志，能“学进去”和“讲出来”是自主学习的主要特征。

学进去

多维度对话

一是与教材发生对话

二是与同学发生对话

三是与教师发生对话

四是与网络发生对话

五是与实践发生对话

六是与自己发生对话

多路径生成

独立阅读，自主学习

小组合作，交流分享

认真听讲，师生互动

在线学习，灵活生成

应用体验，内化迁移

个体反思，总结拓展

讲出来：

独立活动讲出来，小组交流讲出来，师生互动讲出来，总结反思讲出来；

用自己的语言讲出来，用规范的语言讲出来，用学科的语言讲出来，用优美的语言讲出来。

“自然性、开放性和自主性”就是“GBR”的三个视角，这三方面是有效教学的“基色”，它们之间不是完全独立的，可以相互混合，并且能勾兑出不同的色彩，为设计增色、为课堂添翼。