阅读与思考 集合中元素的个数板书设计及设计说明

第2课时

补集及综合应用

学习目标

1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．

知识点一

全

集

定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．

记法：全集通常记作U. 知识点二

补

集

思考

实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？

答案

剩下不大于1的数，用集合表示为{x∈R|x≤1}．

梳理

补集的概念

自然语言

集合语言

图形语言

性质

1．根据研究问题的不同，可以指定不同的全集．(√)

2．存在x0∈U，x0∉A，且x0∉∁UA.(×)

13．设全集U＝R，A＝x>1x对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} ①A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅；

②∁UU＝∅，∁U∅＝U

1，则∁UA＝x≤1x

.(×)

4．设全集U＝{x，yx∈R，y∈R}，A＝{x，yx>0且y>0}，则∁UA＝{x，yx≤0且y≤0}.(×)

类型一

求补集

1

例1 (1)已知全集U＝{a，b，c}，集合A＝{a}，则∁UA等于(

) A.{a，b}B.{a，c}C.{b，c}D.{a，b，c}

考点

补集的概念及运算

题点

有限集合的补集

答案

C 解析

∁UA＝{x|x∈U且x∉A}＝{b，c}. (2)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁UA等于(

) A．{x|0

考点

补集的概念及运算

题点

无限集合的补集

答案

C 解析

∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，

B．{x|0≤x<2} D．{x|0≤x≤2}

A＝{x∈R|－2≤x≤0}，

∴∁UA＝{x|0

考点

题点

解

根据三角形的分类可知A∩B＝∅，

A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，

∁U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．

反思与感悟

求集合的补集，需关注两处：一是确认全集的范围；二是善于利用数形结合求其补集，如借助Venn图、数轴、坐标系来求解．

跟踪训练1 (1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁UA＝________. 考点

补集的概念及运算

题点

有限集合的补集

答案

{3,4,5} (2)已知集合U＝R，A＝{x|x－x－2≥0}，则∁UA＝________. 考点

补集的概念及运算

题点

无限集合的补集

答案

{x|－10}，则∁UA＝________. 考点

补集的概念及运算

2 2

题点

无限集合的补集

答案

{(x，y)|xy≤0}

类型二

补集性质的应用

命题角度1 补集性质在集合运算中的应用

例2 已知A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，∁UB＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B. 考点

补集的概念及运算

题点

有限集合的补集

解

∵A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，

∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．

而∁UB＝{－1,0,2}，

∴B＝∁U(∁UB)＝{－3,1,3,4,6}．

反思与感悟

从Venn图的角度讲，A与∁UA就是圈内和圈外的问题，由于(∁UA)∩A＝∅，(∁UA)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推．

跟踪训练2 如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.

考点

补集的概念及运算

题点

无限集合的补集

答案

{x|0≤x≤1或x＞2} 解析

A∩B＝{x|1

由图可得A*B＝∁(A∪B)(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}．

命题角度2 补集性质在解题中的应用

例3 关于x的方程：x＋ax＋1＝0，

2

①

②

③

x2＋2x－a＝0，

x2＋2ax＋2＝0，

若三个方程至少有一个有解，求实数a的取值范围．

考点

补集的概念及运算

题点

无限集合的补集

解

假设三个方程均无实根，则有

Δ1＝a－4<0，Δ2＝4＋4a<0，Δ3＝4a2－8<0，2

2

解得－2

∴当a≤－2或a≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，

3

即a的取值范围为{a|a≤－2或a≥－1}．

反思与感悟

运用补集思想求参数取值范围的步骤(1)把已知的条件否定，考虑反面问题；

(2)求解反面问题对应的参数的取值范围；

(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集．

跟踪训练3 若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

考点

补集的概念及运算

题点

无限集合的补集

解

假设集合A中含有2个元素，

即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，

则a≠0，Δ＝9－8a>0，

解得a<98，且a≠0，

则集合A中含有2个元素时，实数a的取值范围是

aa<98且a≠0

. 在全集U＝R中，集合aa<98

且a≠0的补集是

aa≥9或a＝08

，

所以满足题意的实数a的取值范围是9aa≥或a＝08

. 类型三

集合的综合运算

例4 (1)(2016·浙江)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则(∁UP)∪Q等于(

) A.{1}

B.{3，5}

C.{1，2，4，6}

D.{1，2，3，4，5}

考点

交并补集的综合问题

题点

有限集合的交并补运算

答案

C 解析

∵∁UP＝{2，4，6}，

∴(∁UP)∪Q＝{1，2，4，6}. (2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是________．

考点

交并补集的综合问题

题点

与交并补集运算有关的参数问题

4

答案

{a|a≥2}

解析

∵∁RB＝{x|x<1或x>2}且A∪(∁RB)＝R，

∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.

反思与感悟

解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分．有限集合混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴．

跟踪训练4 (1)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1,3,7}，A∩(∁UB)＝{4,9}，则B等于(

) B．{2,5,6,8} D．{2,4,5,6,8,9} A．{1,2,3,6,7} C．{2,4,6,9} 考点

交并补集的综合问题

题点

有限集合的交并补运算

答案

B 解析

根据题意可以求得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn图(如图所示)，可得B＝{2,5,6,8}，故选B.

(2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2

A∩(∁UB)．

考点

交并补集的综合问题

题点

无限集合的交并补运算

解

如图所示．

∵A＝{x|－2

∴∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，

∁UB＝{x|x<－3或2

A∩B＝{x|－2

∴(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，

A∩(∁UB)＝{x|2

1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM等于(

) A．UB．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6}

5

考点

补集的概念及运算

题点

有限集合的补集

答案

C 2．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于(

) A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3}D．{4} 考点

交并补集的综合问题

题点

有限集合的交并补运算

答案

D 3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于(

) A．{x|－2

C．{x|x≤1}

考点

交并补集的综合问题

题点

无限集合的交并补运算

答案

C 4．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是________．(填序号) ①Z∪∁UN; ②N∩∁UN；

③∁U(∁U∅); ④∁UQ. 考点

交并补集的综合问题

题点

无限集合的交并补运算

答案

①

5．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(∁UB)＝________. 考点

交并补的综合问题

题点

有限集合的交并补运算

答案

{1} 解析

∵∁UB＝{1,5,6}，∴A∩(∁UB)＝{1}．

1．全集与补集的互相依存关系

(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．

(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．

(3)∁UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．

6 B．{x|x≤－4} D．{x|x≥1}

2．补集思想

做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A，求A. 一、选择题

1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为( A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4} 考点

交并补集的综合问题

题点

有限集合的交并补运算

答案

C 解析

∁UA＝{0,4}，所以(∁UA)∪B＝{0,2,4}，故选C. 2．(2017·北京)已知U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则∁UA等于(

) A.{x|－2

B.{x|x<－2或x>2}

C.{x|－2≤x≤2}

D.{x|x≤－2或x≥2}

考点

补集的的概念及运算

题点

无限集合的补集

答案

C 解析

∁UA为数轴上去掉集合A剩余部分．

3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于( A．0或2 B．0 C．1或2 D．2 考点

补集的概念及运算

题点

由补集运算结果求参数的值

答案

D 解析

由题意，知a＝2，a2－2a＋3＝3，

则a＝2. 4．图中的阴影部分表示的集合是(

)

A．A∩(∁UB) B．B∩(∁UA)

) ) 7

C．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B) 考点

Venn图表达的集合关系及运用

题点

Venn图表达的集合关系

答案

B 解析

阴影部分表示集合B与集合A的补集的交集．

因此，阴影部分所表示的集合为B∩(∁UA)．

5．已知S＝{x|x是平行四边形或梯形}，A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}.下列式子不成立的是( A．B∩C＝{x|x是正方形}

) B．∁AB＝{x|x是邻边不相等的平行四边形}

C．∁SA＝{x|x是梯形}

D．A＝B∪C

考点

交并补集的综合问题

题点

无限集合的交并补运算

答案

D 解析

平行四边形有邻边不相等也不垂直的，D错误．

6．已知U为全集，集合M，N⊆U，若M∩N＝N，则(

) A．∁UN⊆∁UM

C．∁UM⊆∁UN

B．M⊆∁UN

D．∁UN⊆M

考点

集合的交集、并集性质及应用

题点

交集、并集的性质

答案

C 解析

由M∩N＝N知N⊆M，∴∁UM⊆∁UN. 7．设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x≥5}，则∁UA等于(

) A．∅

C．{5} 考点

补集的概念及运算

题点

有限集合的补集

答案

B 解析

因为A＝{x∈N|x≤－5或x≥5}，

所以∁UA＝{x∈N|2≤x<5}，故∁UA＝{2}．

8．设集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则∁Z(P∪M)等于(

) B．{2} D．{2,5} 2

8

A．M

C．Q

考点

交并补集的综合问题

题点

无限集合的交并补运算

答案

C B．P

D．∅

解析

集合M，P，Q分别代表被3除余0,1,2的整数构成的集合．整数集中去掉被3除余0或1的，剩余的只有余数为2的，即集合Q. 二、填空题

9．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝______，(∁UA)∩(∁UB)＝________. 考点

交并补集的综合问题

题点

无限集合的交并补运算

答案

{x|0

A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∁U(A∪B)＝{x|00}，∁UB＝{x|x<1}，

∴(∁UA)∩(∁UB)＝{x|0

10．设U＝R，集合A＝{x|x＋3x＋2＝0}，B＝{x|x＋(m＋1)x＋m＝0}，若(∁UA)∩B＝∅，则22m的值是__________________________________________________________________．

答案

1或2 解析

A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，

∵方程x＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)－4m＝(m－1)≥0，∴B≠∅. ∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．

①若B＝{－1}，则m＝1；

②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，

∴B≠{－2}；

③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2. 经检验知，m＝1和m＝2符合条件．

∴m＝1或2. 11．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x<0或x>1}，则图中阴影部分所表示的集合为_________．

222

考点

Venn图表达的集合关系及运用

9

题点

Venn图表达的集合关系

答案

{x|x≤1或x>2} 解析

如图，设U＝A∪B＝R，A∩B＝{x|1

∴阴影部分为∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}．

三、解答题

12．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(∁UA)＝R，B∩(∁UA)＝{x|0

交并补集的综合问题

题点

无限集合的交并补运算

解

∵A＝{x|1≤x≤2}，

∴∁UA＝{x|x<1或x>2}．

又B∪(∁UA)＝R，A∪(∁UA)＝R，

可得A⊆B. 而B∩(∁UA)＝{x|0

∴{x|0

可得B＝A∪{x|0

13．已知A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．

(1)当m＝1时，求A∪B；

(2)若B⊆∁RA，求实数m的取值范围．

考点

交并补集的综合问题

题点

与交并补集运算有关的参数问题

解

(1)m＝1，B＝{x|1≤x＜4}，

A∪B＝{x|－1＜x＜4}．

(2)∁RA＝{x|x≤－1，或x＞3}．

当B＝∅时，即m≥1＋3m

1得m≤－，满足B⊆∁RA，

2当B≠∅时，使B⊆∁RA成立，

m＜1＋3m，则1＋3m≤－1

m＜1＋3m，或m＞3，

解得m＞3.

10

综上可知，实数m的取值范围是

1m|m＞3，或m≤－. 2

四、探究与拓展

14．如图，已知I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是(

)

A．(∁IA∩B)∩C

C．(A∩B)∩(∁IC) B．(∁IB∪A)∩C

D．(A∩∁IB)∩C

考点

Venn图表达的集合关系及运用

题点

Venn图表达的集合关系

答案

D 解析

由题图可知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C，则阴影部分表示的集合是(A∩∁IB)∩C. 15．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，求该网店

(1)第一天售出但第二天未售出的商品有多少种？

(2)这三天售出的商品最少有多少种？

考点

Venn图表达的集合关系及运用

题点

Venn图的应用

解

由Venn图知，第一天售出但第二天未售出的商品为19－3＝16(种)．

而这三天售出的商品最少时有2＋18＋9＝29(种)．

11

12