习题2.3第一课时评课稿

2.3

幂函数

整体设计

教学分析

幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究y＝x,y＝x,y＝x,y＝x,y＝x等函数的性质和图象,让学生23-112认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数α＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习. 将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x2,y=x-1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径. 学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析. 三维目标

1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣. 2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望. 3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法

在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力. 重点难点

教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质. 教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小. 课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1 1.如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里p是w的函数. 2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数. 3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数. 4.如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=S,这里a是S的函数. 5.如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的速度v=t-1km/s,这里v是t的函数. 以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式,且底数都是变量). （适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课,书写课题:幂函数）. 思路2.我们前面学习了三类具体的初等函数:二次函数、指数函数和对数函数,这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数,教师板书课题:幂函数. 推进新课

新知探究

提出问题

问题①:给出下列函数:y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指数函数？

问题②:根据①,如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论. 问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢? 1212

问题④:画出y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象,完成下列表格. 函性质

定义域

值域

奇偶性

单调性

特殊点

图象分布

数

y=x

y=x2

y=x3

1212y=x

y=x-1

问题⑤:通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断？

问题⑥:通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗? 活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法,所以教学流程又分两条线,一条以内容为明线,另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示. 讨论结果：

①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数. ②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义: 一般地,形如y=xα（x∈R）的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数. 如y=x,y=x,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数. 212③我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此. ④学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,

在同一坐标系中画出函数y=x,y=x,y=x2,y=x3,y=x-1的图象. 列表: x y=x y=x

y=x2

y=x3

y=x-1

1212…

…

…

…

…

…

-3 -3

9 -27 -2 -2

4 -8 --1 -1

1 -1 -1 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 2 2 1.41 4 8 3 3 1.73 9 27 …

…

…

…

…

…

1

31

21

21

3描点、连线.画出以上五个函数的图象如图2-3-1.

图2-3-1 让学生通过观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质. 通过观察图象,完成表格.

函数

性质

定义域

值域

奇偶性

单调性

特殊点

y=x R R 奇

在第Ⅰ象限单调递增

(1,1) y=x2

R {y|y≥0}

奇

在第Ⅰ象限单调递增

(1,1) y=x3

R R 奇

在第Ⅰ象限单调递增

(1,1) 12y=x

{x|x≥0}

{y|y≥0}

非奇非偶

在第Ⅰ象限单调递增

(1,1) y=x-1

{x|x≠0}

{y|y≠0}

奇

在第Ⅰ象限单调递减

(1,1)

图象分布

第Ⅰ、Ⅲ象限

第Ⅰ、Ⅱ象限

第Ⅰ、Ⅲ象限

第Ⅰ象限

第Ⅰ、Ⅲ象限

⑤第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断. ⑥幂函数y=xα的性质. （1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）（原因：1x=1）；

（2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在\[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）. 特别地,当α＞1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大. 当0＜α＜1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大. （3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数. 在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴. 应用示例

思路1 例1判断下列函数哪些是幂函数. ①y=0.2x;②y=x-3;③y=x-2;④y=x. 活动：学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=xα（x∈R）的函数称为幂函数,变量x的系数为1,指数α是一个常数,严格按这个标准来判断. 解：①y=0.2x的底数是0.2,因此不是幂函数; ②y=x-3的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数; ③y=x-2的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数; ④y=x的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数. 点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断. 变式训练

判别下列函数中有几个幂函数？

1515

①y=x;②y=2x;③y=x;④y=x2+x;⑤y=-x3. 解：①③的底数是变量,指数是常数,因此①③是幂函数;②的变量x2的系数为2,因此不是幂函数; ④的变量是和的形式,因此也不是幂函数; ⑤的变量x3的系数为-1,因此不是幂函数. 例2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性. （1）y=x,（2）y=x233213223,（3）y=x-2. 活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法,判断函数奇偶性、单调性的方法.判断函数奇偶性、单调性的方法,一般用定义法.解决有关函数求定义域的问题时,可以从以下几个方面来考虑:列出相应不等式或不等式组,解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域. 解：（1）要使函数y=x有意义,只需y=x有意义,即x∈R.所以函数y=x的定义域是x∈R.又f(-x)=f(x),所以函数y=x是偶函数,它在(-∞,0］上是减函数,在［0,+∞)上是增函数. （2）要使函数y=x323223233223有意义,只需y=12x3有意义,即x∈R,所以函数y=x+32的定义域是R,由于函数y=x+的定义域不关于原点对称,所以函数y=x32是非奇非偶的函数,它在(0,+∞)上是减函数. （3）要使函数y=x-2有意义,只需y=1有意义,即x≠0,所以函数y=x-2的定义域是x≠0,2x又f(-x)=f(x),所以函数y=x-2是偶函数,它在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数. 点评：在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时,根据负指数幂的意义将其转化为分式形式,根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域,求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组. 例3证明幂函数f(x)=x在［0,+∞)上是增函数. 活动：学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导. 证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性. 证明：任取x1,x2∈［0,+∞),且x1＜x2,则

f(x1)-f(x2)=x1-x2=(x1x2)(x1x2)x1x2x1x2x1x2＜0. =x1x2x1x2, 因为x1-x2＜0,x1+x2＞0,所以所以f(x1)

) A.{x|x≠0或x≠2}

B.（-∞,0）∪（2,＋∞）

C.（-∞,0］∪［2,＋∞)

D.（0,2）

分析：函数y＝（x-2x）212化为y=1x22x,要使函数有意义需x2-2x＞0,即x＞2或x＜0,所以函数的定义域为{x|x＞2或x＜0}. 答案：B 变式训练

函数y＝（1-x）的值域是(

) 212A.［0,＋∞)

B.（0,1］

C.（0,1）

D.［0,1］

活动：学生独立解题,先思考,然后上黑板板演,教师巡视指导. 函数的值域要根据函数的定义域来求. 函数可化为根式形式,偶次方根号的被开方数大于零,转化为等式或不等式来解,可得定义域,这是复合函数求值域问题,利用换元法. 分析：令t＝1-x2,则y＝t, 因为函数的定义域是{x|-1≤x≤1},所以0≤t≤1.所以0≤y≤1.

答案：D 点评：注意换元法在解题中的应用. 例2 比较下列各组数的大小：

（1）1.10.1,1.20.1;（2）0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.

活动：学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨. 比较数的大小,常借助于函数的单调性. 对（1）（2）可直接利用幂函数的单调性. 对(3)只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里0.30.3可作为中间量. 解：（1）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x0.1的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为1.1＜1.2,所以1.10.1<1.20.1. （2）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x-0.2的单调性,在第一象限内函数单调递减,又因为0.24＜0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2. (3)首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2＜0.3,所以0.20.3<0.30.3. 再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因为0.2＜0.3,所以0.30.3<0.30.2. 所以0.20.3<0.30.3<0.30.2. 另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成. 点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性. 知能训练

1.下列函数中,是幂函数的是(

) A.y=2x

B.y=2x3

C.y=2.下列结论正确的是(

) A.幂函数的图象一定过原点

B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数

C.当α>0时,幂函数y=xα是增函数

D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数

3.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是(

) 1

D.y=2x

x1A.y=x3

B.y=x2

C.y=

D.y=x2

x4.已知某幂函数的图象经过点(2,2),则这个函数的解析式为. 答案：1.C

2.D

3.A

4.y=x

拓展提升

123

分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系. ①y＝x-1,y＝x-2,y=x-3;②y＝x231213,y＝x13; ③y=x,y=x,y=x;④y=x,y＝x. 活动：学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示. 解：利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2-3-2、图2-3-3，图2-3-4、图2-3-5. 12

图2-3-2

图2-3-3

图2-3-4

图2-3-5 ①观察图2-3-2得到: 函数y＝x-1、y＝x-2、y=x-3的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远. ②观察图2-3-3得到: 函数y＝x12、y＝x13的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远. ③观察图2-3-4得到: 函数y=x、y=x2、y=x3的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象下凸越大,在第一象限来看,图象向上离y轴近,向

下离y轴近. ④观察图2-3-5得到: 函数y=x、y＝x的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象上凸越大,在第一象限来看,图象在点(1,1)的左边离y轴近,在点(1,1)的右边离x轴近. 根据上述规律可以判断函数图象的分布情况. 课堂小结

1.幂函数的概念. 2.幂函数的性质. 3.幂函数的性质的应用. 作业

课本P87习题2.3

1、2、3. 设计感想

幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议抓住关键点作图,要会熟练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解. 习题详解

(课本第79页习题2.3) 1.函数y=12131是幂函数. 2x2.解析:设幂函数的解析式为f（x）=xα, 因为点（2,2）在图象上,所以2=2α. 1所以α=,即幂函数的解析式为f（x）=x2,x≥0.

23.（1）因为流量速率v与管道半径r的四次方成正比,所以v=k·r4；

（2）把r=3,v=400代入v=k·r4中,得k=（3）把r=5代入v=率为3 086 cm3/s. 14004004004＝,即v=r；

81813440044004r,得v=×5≈3 086（cm3/s）,即r=5 cm时,该气体的流量速8181

备课资料

历史上数学计算方面的三大发明

你知道数学计算方面的三大发明吗?这就是阿拉伯数字、十进制和对数. 研究自然数遇到的第一个问题是计数法和进位制的问题,我们采用的十进制是中国人的一大发明.在商代中期的甲骨文中已有十进制,其中最大的数是3万,印度最早到六世纪末才有十进制.但是,目前使用的计数法和阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早开始使用,后来传到阿拉伯,由阿拉伯人传到欧洲,并被欧洲人所接受. 十进制位置计数法的诞生,是自然数发展史上的一次飞跃,同一个数字由于它所在的位置不同而有不同的值.无穷多个自然数可以用有限个符号来驾驭,所有的自然数都可以方便清楚地表示出来. 16世纪前半叶,由于实际的需要,对计算技术的改进提出了前所未有的要求.这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用,它的产生主要是由于天文和航海计算的迫切需要.为了简化天文航海方面所遇到的繁杂数值计算,自然希望将乘除法归结为简单的加减法.苏格兰数学家纳皮尔(Napier,J.1550~1617)在球面天文学的三角学研究中,首先发明了对数方法.1614年他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中,阐述了他的对数方法,对数的使用价值为纳皮尔的朋友——英国数学家布里格斯(Birggs,H.1561~1630)所认识,他与纳皮尔合作,并于1624年出版了《对数算术》一书,公布了以10为底的14位对数表,并称以10为底的对数为常用对数.常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大贡献,而自然对数以及以e为底的指数函数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始,微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说:“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命.”

一直到18世纪,瑞士数学家欧拉(Euler,L.1707~1783)才发现了指数与对数的关系,他指出“对数源出于指数”,这个见解很快被人们所接受. (设计者：邓新国) 本章复习

整体设计

教学分析

函数是描述客观世界变化规律的重要的数学模型,面对纷繁复杂的变化现象,我们还可以根据变化现象懂得不同特征进行分类研究.而指数函数、对数函数以及幂函数是研究客观

世界的变化规律的三类重要且常用的基本初等函数,本章学习了这三类基本初等函数的概念和性质,因此我们对这一些基本知识和三类基本初等函数学完的前提下,综合复习所学知识,进行知识梳理和整合,同时通过进行知识梳理和整合,使学生形成知识网络,强化数学思想和方法的运用,通过复合函数和抽象函数的复习,提高学生的综合能力. 三维目标

1.理解指数与对数,指数函数与对数函数及幂函数的概念和联系,通过提问,提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认知结构. 2.让学生熟悉,能更加熟练地解决与指数函数、对数函数、幂函数有关的问题,培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力. 3.对复合函数,抽象函数有一个新的认识,培养学生分析、解决问题和交流以及分类讨论的能力. 重点难点

教学重点：指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质. 教学难点：灵活运用函数性质解决有关问题. 课时安排

1课时

教学过程

应用示例

思路1 例1计算: 3340.53(1)［(3)(5)+(0.008)÷(0.02)2×(0.32)2］÷0.062 50.25; 892211lg5lg8000(lg23)2（2）. 11lg6000.036lg0.122活动：学生观察、思考,学生观察式子的特点,特别是指数和真数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,对有困难的学生及时提示,组织学生讨论交流,并对学生作及时的评价. 33272×0.52解：(1)原式=［()×()·()+(0.2)3×()÷(0.2)23331()2］÷(0.5)4×1=4

［56270547256×+5÷5］÷0.5=+105=. 279327lg5lg8000(lg23)2lg5lg(23103)(3lg2)2（2）=

1111lg6000lg0.036lg0.1lg(23102)lg(0.6)2lg10122223lg5lg22lg53(lg2)23[lg5lg2(lg5lg2)]6===. 157lg2lg32lg0.6lg6lg0.622点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式,注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用. 变式训练

如果已知log5427＝a,54b＝3,如何用a、b表示log10881? 解法一：由54b＝3得log543＝b. log5481log5427log543abab所以log10881＝＝==. log54108log54212log54272a解法二：由log5427=a,得54a=27,设x=log10881,则108x=81, 所以(542×27-1)x=3×27,即(542×54-a)x=54b×54a. 所以542x-ax=54a+b,即2x-ax=a+b. 因此,得x=ab. 2a点评：解法一是通过指数化成对数,再由对数的运算性质和换底公式计算结果;解法二是通过对数化成指数,再由指数的运算性质计算出结果,但解法二运算的技巧性较大. 1例2已知a＞0,a≠1,x=(anan),求(x+x2-1)n的值. 211活动：学生思考,观察题目的特点,教师引导学生考虑问题的思路,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,a与a要时给予提示. 1111x-1=(an+an)2-1=(an+2·a0+an)-1=(an-2·a0+an)=(an-an)2. 44442111n1n具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,必112222111n1nnn2这时应看到x-1=(aa)=|a-a|. 42211

111解：将x=(an+an)代入x2-1,得x2-1=(an+an)2-1=(an-an)2. 244111111111n1nnn2所以x-1=(aa)=|a-a|, 42211x+x2-1=1(a+a21n1n)+ 1|a-a21n1n1an,a1,|=

1an,0a1.a,a1,所以(x+x2-1)n=1

,0a1.a点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法. 例3若函数f(x)的定义域是(1,3］,求f(log3x)的定义域. 2活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法.已知抽象函数f(x)的定义域,求抽象函数f［g(x)］的定义域,要借助于f(x)的定义域来求,由于函数f(x)的定义域是(就是(1,3］,所以f(log3x)中的log3x的范围21,3］,从中解出x,即为f(log3x)的定义域. 211解：因为函数f(x)的定义域为(,3］,所以f(log3x)中的log3x的范围就是(,3］, 22即0.5＜log3x≤3,即3＜x≤9.

因此函数f(log3x)定义域为(3,9］. 点评：求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围,对复合函数的定义域要严格注意对应法则. 变式训练

1.求函数y=15x1x的定义域. 12.求函数f(x)=()1的定义域. 答案：1.{x|x≠0且x≠1}.2.{x|x≤0}.

思路2 19x

12x例1求函数y=的定义域、值域和单调区间. x4活动：学生观察,思考交流,独立解题,教师要求学生展示自己的思维过程.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围;函数的值域要根据定义域来求;求函数的单调区间一般用定义法,有时也借助复合函数的单调性.由于自变量处在指数位置上,分母是一个指数式,因此自变量取值无限制;值域转化为二次函数,单调区间用复合函数的单调性确定. 12x解：函数y=的定义域是全体实数, x412x1211x12111因为y===［()］≥,所以函数的值域为［,+∞).

()xxx224444221x),则它在(-∞,+∞)上单调递减, 21111而二次函数y=(u)2在u≤时是减函数,在u≥时是增函数, 24221111令()x≤,则x≥1,令()x≥,则x≤1,

2222设u=(12x所以函数y=在［1,+∞)上是增函数,在(-∞,1］上是减函数. 4x点评：这里求函数值域的方法是配方法,求单调区间是用复合函数的单调性确定的. 例2已知函数f(x)=x(11+). 2x12(1)指出函数的奇偶性,并予以证明；

(2)求证：对任何x(x∈R且x≠0),都有f(x)＞0. 解：(1)因为f(x)的定义域是不为0的实数,关于原点对称, 又f(-x)=-x(是偶函数. (2)当x＞0时,2x＞1,所以f(x)＞0. 当x＜0时,由f(x)为偶函数,有f(x)=f(-x)＞0. 所以对一切x∈R,x≠0,恒有f(x)＞0. 点评：利用函数的奇偶性常可使解法简化,如本题,当x＜0时,证明f(x)＞0较繁,若注意12x2x2x11111+)=x(x-1+)=x(x+)=f(x),所以f(x))=x(x22122112212

到f(x)为偶函数,则只需证明当x＞0时,f(x)＞0,而这是显然的. 知能训练

课本P82复习参考题A组

1、3、4、6、8、10. 拓展提升

问题：已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,过

A作x轴的垂线,垂足为E,过点B作y轴的垂线,交EA于C,若

C恰好在函数y=log2x的图象上,试求A、B、C三点的坐标. 活动：学生先仔细审题,理解题目的含义,然后思考交流,教师适当时候提示指导. 画出函数的图象,设出点的坐标,由图形间的关系建立方程求解. 解：先画出函数的图象如图.

图2-1 设A(x1,log8x1)、B(x2,log8x2), 则C(x1,log8x2).因为C在函数y=log2x的图象上, 所以log8x2=log2x1,即所以x2=x13. 又1log2x2=log2x1. 3x1OEOFx2=,即=, log8x1log8x2EAFB所以x1log8x13=x13log8x1. 所以3x1log8x1=x13log8x1.由x1>1,所以log8x1≠1.

从而有3x1=x13.所以x1=3,x2=33. 所以A、B、C三点的坐标分别为A(3,log83)、B(33,log833)、C(3,log23). 课后作业

课本P82复习参考题A组

2、5、7、9. 设计感想

本堂课是对过去学过的一章知识进行复习,目的是构建知识体系,形成知识网络,总结解

题的方法规律和思想,以便综合运用这些知识,使学生能够见题想法,见题有法,能够做到一题多解,触类旁通,由于涉及的知识点和方法思想较多,所以设计的题目也较多,要注意解题方法的总结和提炼,希望加快处理速度,提高课堂复习效果,做到以不变应万变,使全体同学在知识和技能上都有较大的提高. 习题详解

(课本第82页复习参考题) A组

1.（1）11；（2）719；（3）；（4）. 81000251212122.（1）原式=(ab)2(ab)2(ab)(ab)121212121212=a2abba2abb2(ab)=; abab121212121(aa)a21a（2）原式===2. 111(aa)(aa)aa1aa10lg52=1lg2, 3.（1）因为lg2=a,lg3=b,log125==lg12lg2232lg2lg3lg所以log125=（1a. 2ab23）因为13(b)1log7273log7213(log32log37)1log23=a,log37=b,log1456====a=11log721log32log37log7271baab3. ab1114.（1）（-∞,）∪（,+∞）;（2）［0,+∞）. 2225.（,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1,+∞）. 36.（1）因为log67>log66=1,所以log67>1. 又因为log76log76. （2）因为log3π>log33=1,所以log3π>1.又因为log20.8<0,所以log3π>log20.8. 7.证明：（1）因为f（x）=3x,所以f（x）·f（y）=3x×3y=3x+y.

又因为f（x+y）=3x+y,所以f（x）·f（y）=f（x+y）. （2）因为f（x）=3x,所以f（x）÷f（y）=3x÷3y=3x-y. 又因为f（x-y）=3x-y,所以f（x）÷f（y）=f（x-y）. 8.证明:因为f（x）=lg1x,a、b∈（-1,1）, 1x所以f（a）+f（b）=lg(1a)(1b)1a1b=lg, lg1a1b(1a)(1b)abab1ab）

f（）=lg（ab1ab11ab1abab=lg

1abab1=lg(1a)(1b). (1a)(1b)ab）. 1ab所以f（a）+f（b）=f（9.（1）设保鲜时间y关于储藏温度x的函数解析式为y=k·ax（a>0,且a≠1）. 因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上, k192,0192ka,所以解得

722220.93.a42ka,32所以y=192×0.93x, 即所求函数解析式为y=192×0.93x. （2）当x=30 ℃时,y≈22（小时）；

当x=16 ℃时,y≈60（小时）, 即温度在30 ℃和16 ℃的保鲜时间约为22小时和60小时. （3）图象如图：

图2-2

10.解析：设所求幂函数的解析式为f（x）=xα,因为f（x）的图象过点（2,112）, 22α1α2所以=2,即2=2.所以α=.所以f（x）=x2（x>0）. 22图略,f(x)为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数. B组

1.A 2.因为2a=5b=10,所以a=log210,b=log510,所以1111+=+=lg2+lg5=lg10=1. ablog210log5103.（1）f（x）=a2在x∈（-∞,+∞）上是增函数. x2122-a+

x22x121证明：任取x1,x2∈（-∞,+∞）,且x1

2x212x112(2x12x2)=x. x12(21)(21)因为x1,x2∈（-∞,+∞）, 所以2x210.2x110.

又因为x1

exexexexexexexex=()()

2222=ex·e-x=ex-x=e0=1, 即原式得证. exexexex（2）因为f（x）=,g（x）=, 22e2xe2x所以f（2x）=,2f（x）·g（x）

2exexexex=2··

22e2xe2x=. 2所以f（2x）=2f（x）·g（x）. exexexex（3）因为f（x）=,g（x）=, 22e2xe2x所以g（2x）=, 2exex2exex2［g（x）］+［f（x）］=（）+（）

2222e2x2e2xe2x2e2x=

4e2xe2x=. 2所以g（2x）=［f（x）］2+［g（x）］2. 5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当t=1时,θ=52,于是

52=15+(62-15)e-k, 解得k≈0.24,那么θ=15+47e-0.24t. 所以,当θ=42时,t≈2.3;当θ=32时,t≈4.2.

答:开始冷却2.3和4.2小时后,物体的温度分别为42 ℃和32 ℃.物体不会冷却到12 ℃. 6.(1)由P=P0e-kt可知,当t=0时,P=P0;当t=5时,P=(1-10%）P0.于是有(1-10%)P0=P0e-5k,

(ln0.9)t1解得k=ln0.9,那么P=P0e5. 5110n0.951所以,当t=10时,P=P0e=P0eln0.81=81%P0. 答:10小时后还剩81%的污染物. (2)当P=50%P0时,有50%P0=P0e解得t=1(ln0.9)t5, ln0.5≈33.

1ln0.95答:污染减少50%需要花大约33h. (3)其图象大致如下:

图2-3 备课资料

【备用习题】

1.2006湖南卷函数y=log2x-2的定义域是(

) A.(3,+∞)

B.[3,+∞)

C.(4,+∞)

D.[4,+∞)

2.2006全国卷I已知函数f(x)=a1,若f(x)为奇函数,则a=_________. 2x13.函数y=log2x216的值域是__________. 4.已知函数y=2x的图象与y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则f(16)=_________. 5.若函数y=log2［ax2+（a-1）x+参考答案：

1.D 1］的定义域为R,则a的取值范围是_________. 4

2.a=1

23.［2,+∞)

4.4 5.

3535

a22