探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系PPT专用教学设计内容

《同底指数函数与对数函数图象交点个数》教学设计

一、

教学目标

1.

了解互为反函数的两个图像之间的关系；

2.

会判断同底指数函数与对数函数图象交点个数. 二、

教学重难点

重点：同底指数函数与对数函数图象交点个数

难点：同底指数函数与对数函数图象交点个数

三、

教学过程

必修一教材第76页有这样一个探究：指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，那么它们图象有什么关系呢？

通过探究发现，我们容易知道它们的图象关于直线yx对称，那么它们图象有交点吗？若是有的话，有几个交点呢？很多资料都没能正确回答这个问题.例如，某本辅导资料上有这样一道题. 已知0a1,方程alogax的实根个数是（

x）. A.1个

B.2个

C.3个

D.1个或2个或3个

该书给出的答案是B，如图1.这样的解答正确吗？

y 1 O 1 x

x图1 要解决这个问题，我们必须将函数ya与ylogax(a0且a1)的图象交点个数情况搞清楚.下面我们一起来研究下. 分a1和0a1两种情况进行讨论. 1.

当a1时

请在同一坐标系下画出函数y2与函数ylog2x图象，我们现在用几何画板来演示.当a2时，发现它们没有公共点，如图2.当底数a(a1)逐渐变小，比如a1.3时，x我们发现函数ya与函数ylogax图象出现两个交点，且这两个交点在yx上，如x图3.由此我们自然联想到，当函数ya与ylogax的图象交点在由0个变2个的过程中，有没有可能出现只有1个公共点，比如图4，经过思考回答是肯定的，其实这1个交点的时候就是相切的时候，且是与yx相切的时候.那么问题的关键是什么时候没有，什么时候一个，什么时候两个，此时观察图象已经无法得出结论，必须进行定量研究。我们可以x

从yax与yx交点情况入手探讨，但是这得用导数的知识解决，已经超出了我们的能力范围，就等以后再研究. 图2

图3

图4 所以，根据分析，我们知道：

x当a1时，函数ya与函数ylogax图象交点情况共有以下几种：

0个，1个或2个. 2.

当0a1时

1同样地，我们也在几何画板中画出y与ylog1x图象，发现它们有一个交点，22且交点在yx上，如图5.当底数a(0a1)逐渐变小，比如a0.02时，我们发现函数ya与ylogax的图象3个交点，如图6，根据函数的单调性和连续性知，函数xxyax与ylogax不可能出现2个交点.

图5

图6

x所以我们可以得出，当0a1时，函数ya与ylogax的图象不可能与yx的图像相切，所以它们的交点情况共有以下几种：1个或3个.

同样地，至于何时1个，何时3个，我们也等到以后学习了导数再研究. 至此，我们就把指数函数ya(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)的交点问题弄清楚了.即：

x当a1时，函数ya与函数ylogax图象交点情况：0个，1个或2个；

x

当0a1时，函数yax与函数ylogax图象交点情况：1个或3个. 回到开始那道题，当0a1时，方程axlogax在区间内的实根个数是1个（0,1）或3个，在区间1，内实根个数为1个，所以0a1时，axlogax的实根个数应是2个或4个.

微练习：

1．下列命题

（m,n）（n,m）①

若点在函数yax图象上，则点在函数ylogax图象上

②

当a1时，函数ylogax的图象与直线yx无公共点

（m,n）③

若点既在函数ya图象上，也在函数ylogax图象上，则mn

x④

当0a1时，函数yax的图象与直线yx有且只有一个公共点

其中正确的命题的个数为（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．已知a1,则方程ax|logax|实根的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．1个或2个 D．1个或2个或3个

3．已知0a1，则方程a|x||logax|的实根的个数为（ ）

A．2个 B．3个 C．2个或3个 D．2个或4个

【答案】

1.①由反函数图象对称性知正确；②当a1时，函数ylogax的图象与直线yx可能x有0个或1个或2个交点，所以错误；③当0a1时，函数ya与函数ylogax交x点有3个时，其中2个不在yx上，所以错误；④当0a1时，函数ya与直线只有一个交点，所以正确.故选C. 2.由函数与方程思想知，方程的根的个数即函数ya与函数ylogax图象交点个数，而ylogax是把ylogax图象在x轴下方部分作关于x轴对称，又因为当a1时，函数ya与函数ylogax图象交点可能有0个或1个或2个，所以ax|logax|实根个数可能是1个或2个或3个，故选D.

|x|（0,1）3.当0a1时，方程a|logax|在区间内实根个数是1个或3个，在区间1，xx

内的实根个数为1个，所以0a1时，方程a|x||logax|实根个数为2个或4个，故选D.