复习参考题教学实录与评析

第4讲

基本初等函数

一．【课标要求】

1．指数函数

（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；

（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；

（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型

2．对数函数

（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；

（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；

3．知道指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数（a＞0，a≠1）。

4.幂函数

（1）了解幂函数的概念

（2）结合函数y=x, ,y=x2, y=x3,y=x12,y=1的图象，了解它们的变化情况

x二．【命题走向】

指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。

预测本节的考察是：

1．题型有两个选择题和一个解答题；

2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大

三．【要点精讲】

1．指数与对数运算

（1）根式的概念：

①定义：若一个数的n次方等于a(n1,且nN)，则这个数称a的n次方根。即若xna，则x称a的n次方根n1且nN)，

1）当n为奇数时，a的n次方根记作na；

2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作na(a0)

②性质：1）(na)na；2）当n为奇数时，nana；

3）当n为偶数时，na|a|（2）．幂的有关概念

a(a0)。

a(a0)

①定义：如果a(a0,且a1)的b次幂等于N，就是abN，那么数b称以a为底N的对数，记作logaNb,其中a称对数的底，N称真数

1）以10为底的对数称常用对数，log10N记作lgN；

2）以无理数e(e2.71828)为底的对数称自然对数，logeN，记作lnN；

②基本性质：

1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）loga10；

logN3）logaa1；4）对数恒等式：aaN。

③运算性质：如果a0,a0,M0,N0,则

1）loga(MN)logaMlogaN；

2）logaMlogaMlogaN；

Nn3）logaMnlogaM(nR）

④换底公式：logaNlogmN(a0,a0,m0,m1,N0),

logma

1）logablogba1；2）logambn2．指数函数与对数函数

（1）指数函数：

nlogab。

m①定义：函数yax(a0,且a1)称指数函数，

1）函数的定义域为R；2）函数的值域为(0,)；

3）当0a1时函数为减函数，当a1时函数为增函数。

②函数图像：

1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；

2）指数函数都以x轴为渐近线（当0a1时，图象向左无限接近x轴，当a1时，图象向右无限接近x轴）；

xx3）对于相同的a(a0,且a1)，函数ya与ya的图象关于y轴对称

③函数值的变化特征：

0a1

①

x0时0y1，

②x0时y1，

③x0时y1

（2）对数函数：

a1

①x0时y1，

②x0时y1，

③x0时0y1，

①定义：函数ylogax(a0,且a1)称对数函数，

1）函数的定义域为(0,)；2）函数的值域为R；

3）当0a1时函数为减函数，当a1时函数为增函数；

x4）对数函数ylogax与指数函数ya(a0,且a1)互为反函数

②函数图像：

1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；

2）对数函数都以y轴为渐近线（当0a1时，图象向上无限接近y轴；当a1时，3340.53图象向下无限接近y轴）；[(3)(5)(0.008)(0.02)2(0.32)2]0.06250.25

8922114）对于相同的a(a0,且a1)，函数ylogax与ylog1x的图象关于x轴对称。

a

③函数值的变化特征：

0a1

a1

①x1时y0，

①x1时y0，

②x1时y0，

②x1时y0，

③0x1③x0时0y1. 时y0.

（3）幂函数

1）掌握5个幂函数的图像特点

2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数

3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1）

当a>0时过（0，0）

4）幂函数一定不经过第四象限

四．【典例解析】

题型1：指数运算

例1．（1）计算：；

（2）化简：a8ab4b23aba23234313(a2323ba3a2)。

53aaa

解：（1）原式84910003426254)50]()=[()3()2(27981010000471421172[25](2)2；

932995210a[(a)(2b)](a)a(2b)(2b)2132131313131331332121（2）原式=a2b(aa)111

a(a2a3)52313132312a(a2b)131313aa2b1313aa5616aaaa2。

13点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。