实习作业教学设计与反思

示范教案

整体设计

教学分析

本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的．教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然．

三维目标

1．理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力．

2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想．

重点难点

教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．

教学难点：判断函数的奇偶性的方法与书写过程格式．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于y轴对称．)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究．

思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y＝x2和y＝x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性．

推进新课

新知探究

提出问题

①如下图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．

②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写下面两表，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？

[来源:Zxxk.Com]

x f(x)＝x2

x f(x)＝|x| －3

－2

－1

0

1

2

3

－3

－2

－1

0

1

2

3

③请给出偶函数的定义？

④偶函数的图象有什么特征？

⑤函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数吗？

⑥偶函数的定义域有什么特征？

1⑦观察函数f(x)＝x和f(x)＝的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性x质？

活动：教师从以下几点引导学生：

①观察图象的对称性．

②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数．

③利用函数的解析式来描述．

④偶函数的性质：图象关于y轴对称．

⑤函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]的图象关于y轴不对称；对定义域[－1,2]内x＝2，f(－2)不存在，

即其函数的定义域中任意一个x的相反数－x不一定也在定义域内，即f(－x)＝f(x)不恒成立．

⑥偶函数的定义域中任意一个x的相反数－x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称．

⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质．

给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；(2)由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)；(3)具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；(4)可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；(5)函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质．

讨论结果：①这两个函数之间的图象都关于y轴对称．

②填表如下．

x f(x)＝x2

x

－3 9 －2 4 －1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 －3 －2 －1 0 1 2 3

f(x)＝|x| 3 2

1 0 1 2 3

这两个函数的解析式都满足：

f(－3)＝f(3)；

f(－2)＝f(2)；

f(－1)＝f(1)．

可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)．

③设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，

则这个函数叫做偶函数．

④偶函数的图象关于y轴对称．

⑤不是偶函数．

⑥偶函数的定义域关于原点轴对称．

⑦设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称．

应用示例

思路1 例1判断下列函数是否具有奇偶性：

(1)f(x)＝x＋x3＋x5；(2)f(x)＝x2＋1；

(3)f(x)＝x＋1；(4)f(x)＝x2，x∈[－1,3]．

解：(1)函数f(x)＝x＋x3＋x5的定义域为R，当x∈R时，－x∈R. 因为f(－x)＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)，

所以函数f(x)＝x＋x3＋x5是奇函数．

(2)函数f(x)＝x2＋1的定义域为R，当x∈R时，－x∈R. 因为f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，

所以f(x)＝x2＋1是偶函数．

(3)函数f(x)＝x＋1的定义域是R，当x∈R时，－x∈R. 因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，

所以f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)．

因此，f(x)＝x＋1既不是奇函数也不是偶函数．

(4)因为函数的定义域关于原点不对称，存在3∈[－1,3]，而－3[－1,3]，所以f(x)＝x2，x∈[－1,3]既不是奇函数也不是偶函数．

点评：在奇函数与偶函数的定义中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的前提条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．

函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数－x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f(－x)与f(x)的关系．

③作出相应结论：

[来源:Zxxk.Com][来源学科网]

若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；

若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数. 变式训练

判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x4；

(2)f(x)＝x5；

[来源学科网Z,X,X,K]1(3)f(x)＝x＋；

x1(4)f(x)＝2. x活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性．先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)．

解：(1)函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，

都有f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，

所以函数f(x)＝x4是偶函数．

(2)函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)，

所以函数f(x)＝x5是奇函数．

1(3)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－x＋＝－－x1(x＋)＝－f(x)，

x1所以函数f(x)＝x＋是奇函数．

x(4)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，

对定义域内任意一个x，

111都有f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)＝是偶函数．

2x2(－x)2x

1

例2研究函数y＝2的性质并作出它的图象．

x解：已知函数的定义域是x≠0的实数集，即{x∈R|x≠0}．

由函数的解析式可以推知：对任意的x值，对应的函数值y＞0，函数的图象在x轴的上方；函数的图象在x＝0处断开，函数的图象被分为两部分，且f(－x)＝f(x)，这个函数为偶函数；当x的绝对值变小时，函数值增大得非常快，当x的绝对值变大时，函数的图象向x轴的两个方向上靠近x轴．由以上分析，以x＝0为中心，在x轴的两个方向上对称地选取若干个自变量的值，计算出对应的y值，列出x，y的对应值表：

x …

－3 1

9－2 1

4－1 1－

24 …

0 不存在

…

1

24 1 2 1

43 1

9…

y …

1 …

…

1 …

在直角坐标系中，描点、连成光滑曲线，就得到这个函数的图象，如下图所示．由图象

可以看出，这个函数在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数．

点评：当函数y＝f(x)不是基本初等函数时，通常利用其性质来画其图象，即根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性来估计其图象的特点. 变式训练

1

画出函数y＝3的图象．

x解：函数定义域是{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}，因此其图象与两坐标轴均无交点．

11又∵f(－x)＝3＝－3＝－f(x)．

x(－x)1∴函数y＝3是奇函数，其图象关于原点对称．

x1利用描点法画出函数y＝3在(0，＋∞)上的图象，再作出该部分关于原点的对称图象，这两部x1分合起来就是函数y＝3的图象．

x如下图所示．

思路2 例1判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝x2，x∈[－1,2]；

x3－x2(2)f(x)＝；

x－1(3)f(x)＝x2－4＋4－x2. 活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法．先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．在(4)中注意定义域的求法，对任意x∈R，有1＋x2＞x2＝|x|≥－x，则1＋x2＋x＞0.则函数的定义域是R. 解：(1)因为它的定义域[－1,2]不关于原点对称，函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]既不是奇函数又不是偶函数．

x3－x2(2)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，并不关于原点对称，函数f(x)＝既不是奇x－1

函数又不是偶函数．

(3)∵x2－4≥0且4－x2≥0，

∴x＝±2，

即f(x)的定义域是{－2,2}．

∵f(2)＝0，f(－2)＝0，

∴f(2)＝f(－2)，f(2)＝－f(2)．

∴f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)．

∴f(x)既是奇函数也是偶函数．

点评：本题主要考查函数的奇偶性．

定义法判断函数奇偶性的步骤是(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)或－f(x)是否相等；(2)当f(－x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(－x)＝－f(x)时，此函数是奇函数；(3)当f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数. 变式训练

1．函数f(x)＝2x2＋x4，x∈[a,1＋a]是偶函数，则实数a＝________. 1答案：－

22．判断下列函数的奇偶性．

(1)y＝x2，x∈[－1,1)；

2(2)y＝x3＋；

x(3)y＝x2＋1. 答案：(1)非奇非偶函数；(2)奇函数；(3)偶函数.

例2已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x＞1时f(x)＞0，f(2)＝1，

(1)求证：f(x)是偶函数；

(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

57(3)试比较f(－)与f()的大小．

24分析：(1)转化为证明f(－x)＝f(x)，利用赋值法证明f(－x)＝f(x)；(2)利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；(3)利用函数的单调性比较它们的大小，利用函57数的奇偶性，将函数值f(－)和f()转化为同一个单调区间上的函数值．

24(1)证明：令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. 令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f[－1×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，∴2f(－1)＝0. ∴f(－1)＝0.∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．

∴f(x)是偶函数．

(2)证明：设x2＞x1＞0，则

x2x2x2f(x2)－f(x1)＝f(x1·)－f(x1)＝f(x1)＋f()－f(x1)＝f()．

x1x1x1x2x2∵x2＞x1＞0，∴＞1.∴f()＞0，即f(x2)－f(x1)＞0. x1x1∴f(x2)＞f(x1)．

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

55(3)解：由(1)知f(x)是偶函数，则有f(－)＝f()．

225757由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f()＞f()．∴f(－)＞f()．2424[来源学科网]

点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用．判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较．其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值. 变式训练

已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x、y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．

(1)求f(1)、f(－1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．

分析：(1)利用赋值法，令x＝y＝1得f(1)的值，令x＝y＝－1，得f(－1)的值；(2)利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(－x)＝－f(x)．

解：(1)∵f(x)对任意x、y都有f(x·y)＝yf(x)＋xf(y)，

∴令x＝y＝1时，有f(1·1)＝1·f(1)＋1·f(1)．∴f(1)＝0. ∴令x＝y＝－1时，有f[(－1)·(－1)]＝(－1)·f(－1)＋(－1)·f(－1)．∴f(－1)＝0. (2)是奇函数．

∵f(x)对任意x、y都有f(x·y)＝yf(x)＋xf(y)，

∴令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)．

将f(－1)＝0代入得f(－x)＝－f(x)，

∴函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数.

知能训练

1．设函数y＝f(x)是奇函数．若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝__________. 解析：∵函数y＝f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)．

∴－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3.∴2[f(1)＋f(2)]＝－6.∴f(1)＋f(2)＝－3. 答案：－3 2．f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝__________，b＝__________. 1解析：∵偶函数定义域关于原点对称，∴a－1＋2a＝0.∴a＝. 31∴f(x)＝x2＋bx＋1＋b.又∵f(x)是偶函数，∴b＝0. 31答案：

0 33．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为(

) A．－1

B．0

C．1

D．2 解析：f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝f(2＋0)＝－f(0)．

又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.∴f(6)＝0. 答案：B

拓展提升

问题：利用图象讨论基本初等函数的奇偶性．

探究：利用判断函数的奇偶性的方法：图象法，可得

正比例函数y＝kx(k≠0)是奇函数；

k反比例函数y＝(k≠0)是奇函数；

x一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当b＝0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数；

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当b＝0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数．

课堂小结

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．

作业

课本本节练习B

1、2. 设计感想

单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求．

备课资料

奇、偶函数的性质

(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．

(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立．

(3)f(－x)＝f(x) f(x)是偶函数，f(－x)＝－f(x) f(x)是奇函数．

(4)f(－x)＝f(x) f(x)－f(－x)＝0，f(－x)＝－f(x) f(x)＋f(－x)＝0. (5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数．

奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y＝f(x)和y＝g(x)的奇偶性相同，那么复合函数y＝f[g(x)]是偶函数，如果函数y＝f(x)和y＝g(x)的奇偶性相反，那么复合函数y＝f[g(x)]是奇函数，简称为“同偶异奇”．

(6)如果函数y＝f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a，b)和(－b，－a)上具有相同的单调性；如果函数y＝f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a，b)和(－b，－a)上具有相反的单调性．

(7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)－f(－x)f(x)＋f(－x)f(x)＝＋. 22(8)若f(x)是(－a，a)(a＞0)上的奇函数，则f(0)＝0；

若函数f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)＝f(－|x|)；