习题2.2优质课教案

对数函数

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1、体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 2、掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的问题. 知道指数函数

y=a x 与对数函数y=loga x 互为反函数. （a>0,a≠1）

一、对数函数的定义：

函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数。

二、对数函数的图像和性质：

图

像

定义域：0,

值域：R

性

质

过点1,0，即当x1时，y0

a

0a1

x(0,1)时，y0；x(1,)时，

y0

在0,上是增函数

x(0,1)时，y0；x(1,)时，y0

在0,上是减函数

三、比较对数值的大小，常见题型有以下几类：

1、比较同底数对数值的大小：利用函数的单调性；当底数是同一参数时，要对对参数进行分类讨论；

2、比较同真数对数值的大小：可利用函数图像进行比较；

1

3、比较底数和真数都不相同的对数值的大小：可选取中间量如：“1”、“0”等进行比较。

四、对数不等式的解法：

fxgx 当a1时， logafx

logagx 与 同解。fx0

fxgx 当0a1时，logafx

logagx 与 同解。fx0五、对数方程常见的可解类型有：

形如logafxlogagxa0且a1,fx0,gx0的方程，化成fxgx求解；

形如Flogax0的方程，用换元法解；

形如logfxgxc的方程，化成指数式fxgx求解

指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。

类型一

求函数的定义域

例1：求下列函数的定义域：

(1)ylg(2x)；

(2)y＝c1；

log3(3x2)解析：(1)由题意得lg(2－x)≥0，

即2－x≥1，∴x≤1，

则ylg(2x)的定义域为{x|x≤1}．

(2)欲使y＝1有意义，

log3(3x2)3x－2>0应有log3(3x－2)≠0，∴3x－2≠1

. 2解得x>，且x≠1.

32答案：(1) {x|x≤1}．(2) {x|x>，且x≠1.}．

3练习1：

函数f(x)＝12＋4－x的定义域为________________．

ln(x1)答案：(－1,0)∪(0,2]

2

练习2：

函数f(x)＝ln(x－x)的定义域为(

) A．(0,1) 答案: C 类型二

应用对数函数的性质比较数的大小

例2：比较下列各组中两个数的大小：

(1)log23.4和log28.5；

(2)log0.53.8和log0.52；

解析：(1)∵y＝log2x在x∈(0，＋∞)上为增函数，且3.4<8.5，∴log23.42，∴log0.53.8

答案：(1)log23.4

) A．a>c>b C．c>b>a 答案：D 练习2：

设a＝log2π，b＝log1

π，c＝π2A．a>b>c C．a>c>b 答案：C

类型三

与对数函数有关的图象问题

例3：函数y＝log1 |x|的大致图象是(

) 2－22

B．[0,1] D．(－∞，0]∪[1，＋∞) C．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．b>c>a

D．c>a>b

，则(

) B．b>a>c

D．c>b>a

解析：当x＝1时，y＝log1 1＝0，排除A；

2当x＝2时，y＝log1 2＝－1，排除B、C、故选D．

2答案: D

练习1：函数f(x)＝ln(x＋1)的图象大致是(

) 23

答案: A

练习2：已知a>0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是下图中的(

答案：B

类型四

求反函数

例4：求函数y＝2x＋1(x<0)的反函数．

解析:

由y＝2x＋1，得2x＝y－1，

∴x＝log2(y－1)，∴y＝log2(x－1)．

又∵x<0，∴0<2x<1，∴1<2x＋1<2，

∴所求函数的反函数为y＝log2(x－1)(1

答案：y＝log2(x－1)(1

练习1：求函数y＝1＋x1－x的反函数．

答案：y＝x－1x＋1(x≠－1)．

练习2：函数y＝x＋2，x∈R的反函数为(

) A．x＝2－y

B．x＝y－2 C．y＝2－x，x∈R D．y＝x－2，x∈R

答案: D

类型五

互为反函数的图象间的关系

4 )

例5: 函数y＝f(x)的图象经过第三、四象限，则y＝f(x)的图象经过(

) A．第一、二象限 C．第三、四象限 三象限．

答案：B

练习1:

已知f(x)＝2＋b的反函数为f(x)，若y＝f(x)的图象经过点Q(5,2)，则b＝__________. 答案：1

练习2:

已知函数y＝f(x)与y＝e互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为(

) A．－e 1C．

e答案：C

1B．－

eD．e xx－1－1－1B．第二、三象限

D．第一、四象限

－1解析：因为第三、四象限关于y＝x对称的象限为第三、二象限，故y＝f(x)的图象经过第二、

1、

函数f(x)＝log1x3的定义域为(

) 3A．(3，＋∞)

C．(3,4] 答案：C B．[3，＋∞)

D．(－∞，4] 12、

设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a等于(

) 2A．4 C．2 B．22 D．2 答案：A 3、

下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(

) A．y＝x＋1 C．y＝2 －xB．y＝(x－1)

D．y＝log0.5(x＋1) 2答案：A 24、

函数y＝lg(x－4x－5)的值域为(

) A．(－∞，＋∞)

C．(5，＋∞)

B．(－1,5) D．(－∞，－1) 答案：A 5、．函数y＝1－x－1(x≥2)的反函数为(

) A．y＝(x－1)＋1(x≥1)

2B．y＝(x－1)－1(x≥0)

5 2

C．y＝(x－1)＋1(x≤1)

答案: D 2D．y＝(x－1)＋1(x≤0)

26、函数y＝f(x)的图象过点(1,3)，则它的反函数的图象过点(

) A．(1,2) C．(1,3) 答案: D B．(2,1) D．(3,1)

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基础巩固

x1．已知a>0且a≠1，函数y＝a与y＝loga(－x)的图象可能是下图中的(

)

答案：B 2．

下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(

) A．y＝1＋x 1xC．y＝2＋x 2答案：D 3．函数y＝x＋2，x∈R的反函数为(

) A．x＝2－y

C．y＝2－x，x∈R 答案：D 4．已知函数y＝f(x)与y＝e互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为(

) 6

x21B．y＝x＋

xD．y＝x＋e

xB．x＝y－2 D．y＝x－2，x∈R

A．－e 1C．

e答案：C 1B．－

eD．e 5．

函数y＝log2(4x－x)的递增区间为________．

答案: (0,2]

能力提升

6．

函数f(x)＝3x221－x＋lg(2＋5x－3x)的定义域是(

) 21A．－，2

31C．－2，

3答案：B 1B．－，1

31D．－∞，－

37．

设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(

) A．奇函数，且在(0,1)上是增函数

C．偶函数，且在(0,1)上是增函数

答案：A 8. 已知函数f(x)＝loga(x－k)的图象过点(4,0)，而且其反函数f(x)的图象过点(1,7)，则－1B．奇函数，且在(0,1)上是减函数

D．偶函数，且在(0,1)上是减函数

f(x)是(

) A．增函数

C．奇函数

答案：A log2xx>09．

已知函数f(x)＝x3x<0B．减函数

D．偶函数

1，则f[f()]＝________. 41答案：

9

10. 已知函数f(x)＝loga(2－x)(a>1)．

(1)求函数f(x)的定义域、值域；

(2)求函数f(x)的反函数f(x)；

(3)判断f(x)的单调性．

答案：(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x>0，即x<2，

故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R. 7

－1－1

(2)由y＝loga(2－x)得，2－x＝a，即x＝2－a. ∴f(x)＝2－a(x∈R)．

(3)f(x)在R上是减函数．

证明如下：任取x1，x2∈R且x1

∵f(x2)－f(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝ax1－ax2，

∵a>1，x1

－1－1－1－1yyx∴f－1(x－12)

∴y＝f－1(x)在R上是减函数．

8 课程顾问签字： 教学主管签字：