习题1.2课件配套优秀教案案例

§2.1

函数及其表示

教学设计

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一、教学内容分析

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1.了解构成函数的要素，会求一些简单的定义域值域。

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2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。

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3.了解简单的分段函数，并能简单应用。

二、基础知识 自主学习

要点梳理

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1．函数的基本概念

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(1)函数的定义

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设A，B是非空的

数集

，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的

任意

个数x,在集合B中都有

•

唯一确定

的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作

y＝f(x)，x∈A

. (2)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的

定义域

；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的

值域

.显然，值域是集合B的子集．

(3)函数的三要素：

定义域

、

值域

和

对应关系

.

(4)相等函数：如果两个函数的

定义域

和

对应关系

完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

函数的表示方法

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函数表示的常用方法：解析法，列表法，图像法

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分段函数

•

分段函数在定义域的不同子集上，因（

定义域

）不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数成为分段函数

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三、教学过程

题型分类 深度剖析

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题型一

对函数概念的准确理解

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例1

试判断以下各组函数是否表示同一函数：

•

(1)y＝1，y＝x0；

•

(2)y＝x－2·x＋2，y＝x2－4；

3•

(3)y＝x，y＝t3；

•

(4)y＝|x|，y＝(x)2. •

思维启迪

从函数的三要素的角度来判断是否为同一函数．只有定义域和对应关系相同的函数才是同一函数. 解

(1)y＝1的定义域为R，y＝x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}，∴它们不是同一函数．

(2)y＝x－2·x＋2的定义域为{x|x≥2}．

y＝x2－4的定义域为{x|x≥2或x≤－2}，

∴它们不是同一函数．

3(3)y＝x，y＝t3＝t，它们的定义域和对应关系都相同，

∴它们是同一函数．

(4)y＝|x|的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，∴它们不是同一函数．

题型二

求函数的定义域

例2

(2010·湖北)函数y＝3A.4，1

1的定义域为(A) log0.54x－3

3B.4，＋∞



C．(1，＋∞)

3

D.4，1∪(1，＋∞) 思维启迪定义域就是使解析式有意义的自变量的取值集合．注意对数、根式和分式．

解析

要使函数有意义，则log0.5(4x－3)＞0，

3∴0＜4x－3＜1，∴＜x＜1. 4探究提高

(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：

①分式中，分母不为零；

②偶次根式，被开方数非负；

③对于y＝x0，要求x≠0；

④对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1；

⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束．

(2)抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系．

题型三

分段函数

1

x≥0例4

已知f(x)＝，求不等式x＋(x＋2)f(x＋2)≤5的解集．

－1

x<0

思维启迪分段函数问题，要把握好分段求解。

x＋2≥0x＋2<0解

由题意知：或，

x＋x＋2≤5x－x－2≤5

3解之得－2≤x≤或x<－2. 23所以原不等式的解集为－∞，2. 探究提高

分段函数是一个函数，要注意每一分支中的自变量的取值范围，这些范围的并集形成函数的定义域．同样它的值域应是各阶段相应y的范围的并集．

log3x，x＞0，变式训练4

(2010·湖北)已知函数f(x)＝x

2，

x≤0，1则f f9的值为

(B) 

11A．4

B.

C．－4

D．－

44111－2解析

f f9＝flog39＝f(－2)＝2＝. 4练习：设一个函数的解析式为f(x)＝2x＋3，它的值域为{－1,2,5,8}，则此函数的定义域为_____________．

12．函数y＝x＋1＋的定义域为__________________．

2－x3．设函数f(x)＝1x

11－2x

xx

，若f(a)＝a，则实数a的值是________．

12解析

当a≥0时，1－a＝a，∴a＝. 23

1当a<0时，a＝a，∴a＝－1. 4．下列各组函数是同一函数的是

(

) |x|A．y＝x与y＝1 x－1，x>1B．y＝|x－1|与y＝

1－x，x<1

C．y＝x2与y＝3x3

x3＋xD．y＝2与y＝x

x＋1四、思想方法 感悟提高

方法与技巧

1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：

一是定义域相同；二是对应关系相同．

2．求用解析式y＝f(x)表示的函数的定义域时，常有以

下几种情况：

①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；

②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0 的实数集；

③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内

的式子大于或等于0的实数集合；

④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；

⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题．

3．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行，坚持定义域优先的原则，之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来很大的方便．