阅读与思考 对数的发明主要内容及教案内容

对数函数的性质应用（一）

郫都一中

钟易生

【教学目标】

（一）教学知识点以及能力训练要求

1．对数函数单调性。

2．利用对数函数单调性比较同底数及同底数的对数大小

3．利用对数函数单调性解不等式。

4．培养学生的数学应用意识

（二）启发德育渗透目标

1．用联系观点分析、解决问题。

2．认识事物之间的相互转化。

【教学重点】

1．利用对数函数单调性比较对数大小方法。

2．利用函数单调性解不等式

【教学难点】

1．不同底数对数大小的比较

2．利用对数函数单调性解不等式

【教学方法】

学导式

教学中注意引导学生在解决一些问题后及时总结方法，并进行推广；还要注意与指数函数学习时的研讨方法相比较，启发学生体会研究新知识的一种模式。

【教学过程】

一、复习回顾

1

对数函数图象及性质

提示：对数函数是指数函数的反函数，在研究指数函数性质时有“两分三同两异”的说法，那对数函数是不是也应如此呢？

在回忆知识点过后，给出对数函数的图象和性质表（如下），巩固记忆：

对数函数图象和性质

图

象

0

y

o

1

x

a>1

y

o

1

x

R （1，0）

在(0,+∞)上是减函数

y>0 y<0 在(0,+∞)上是增函数

y<0 y>0

性

质

同

异

定义域

值

域

过定点

单调性

01 (0,+∞) 2

数函数定义域方法及注意：对数的真数为正数，且底数为不等于1的正数。

总结求函数定义域常见的限制条件：

a．

偶次根式被开方数要为非负数

b．分式的分母不能为0 c．

当幂指数为0时，底数不能为0 d．对数的真数为正数，且底数为不等于1的正数

二、新课：对数函数单调性应用

（1）利用函数单调性比较大小

例1

比较下列各组数中两个值的大小①log23.4，log28.5

②

log0.31.8，

log0.32.7 ③loga5.1，loga5.9 (a>0,a≠1)

分析：此题主要利用对数函数单调性比较两个同底数对数值的大小.①,②可通过考查某个对数函数直接得到结果.而③中,01影响着对数函数的单调性,因此需要对a进行分类讨论。

解： ①考查函数y=log2x,由2>1可得: log23.4 < log28.5

②考查函数y=log0.3x,由0.3<1可得: log0.31.8

> log0.32.7

③考查函数y=logax , 当0

>loga5.9，当a>1时,由函数是增函数可得:loga5.1

< loga5.9

总结：不同底对数比较——间接找中间量

例2

比较下列各组数中两个值的大小

①log67，log76

②

log3π，

log20.8 分析：由于对数底数不同，故不能直接比较大小，需找到一个中间量来间接比较两个值的大小。中间量通常为1或0。

解：

①因为，

log67 >log66 =1，而log76 < log77 =1，所以，

log67 > log76②因为，

log3π

>log31=0，而log20.8 < log21 =0，所以，

log67 > log76总结：不同底对数比较——间接找中间量练习：教材P85

3题

答案：①log106

②

log0.56< log0.54

③log2/30.5

④

log1.51.6>log1.51.4

例3

解下列不等式：

①

log0.7(x-3) > log0.7(5-x)

②

log2(2x-3) -1< 0 分析：由对数函数的单调性可知函数值大小与自变量之间的关系。而②中可以将常数1变为log22来解决。①因为函数y=log0.7x在定义域上为减函数，所以，

x-3>0

x>3

5-x>0

x<5

3

<

x

<

4

x-3<5-x

x<4②原式可变形为：log2(2x-3) < 1即log2(2x-3) < log22，

而函数y= log2x在定义域上是增函数，所以，

2x-3>0

x>1.5

1.5

2x-3<2

x<2.5

思考：若在不等式中底数为未知数该怎么求解呢？

如：

loga3> loga(5-x)

对于不等式logaf(x)> logag(x)

1、当0

f(x)>0

g(x)>0

f(x)

2 、当a>1时：原不等式可化为：

f(x)>0

g(x)>0

f(x)>g(x)

练习：已知0

alogb(x-3)<1,那么x的取值范围是多少？

（三）课时小结：

1、利用函数单调性比较大小

同底——直接考察函数；

不同底——间接找中间量。

2、利用对数函数单调性解不等式。

习题⒉8 3题，4题

教学反思

1．教学过程当中，在“利用对数函数单调性比较大小”与“利用对数函数单调性解不等式”两个应用之间加上一个过度知识点能更好的把知识联系起来。

如：我们上面研究了利用函数单调性比较两个真数的大小，那同学们思考一下，若反过来，已知两个对数的大小关系，要让我们比较真数，甚至是底数大小该怎么入手呢？如已知log2m > log27，则有m>7；若log2m > log2n,则有m>n>0,因此，我们就可以利用函数单调性解不等式。

2．对于对数函数图象及性质应在教学中引导学生合理的，科学的，理解的，联系的记忆，切记死记硬背，应通过练习去巩固熟练掌握，再能灵活应用。

3．由于对数函数底数大小直接影响着它的单调性，所以当底数大小不确定时要对底数进行讨论，因此应抓好时机给学生灌输分类讨论的思想，培养他们分类讨论的意识，在德育目标上也可以培养他们考虑问题时要注意思考的严密性和周全性。