小结主要内容及教案内容

1.3 函数的基本性质

1．3.1 单调性与最大(小)值

第1课时

函数的单调性

1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点) 2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点) 3．会求一些具体函数的单调区间．(重点)

[基础·初探] 教材整理1 增函数与减函数的定义

阅读教材P27～P28，完成下列问题．

增函数与减函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任条件

意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时

都有f(x1)＜f(x2)

结论

那么就说函数f(x)在区间D上是增函数

都有f(x1)＞f(x2) 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图示

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)因为f(－1)

) (2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．(

) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．(

) 【解析】

(1)×.函数的单调性强调自变量的任意性而非特殊性．

(2)√.由减函数的定义可知f(0)>f(1)．

(3)×.反例：f(x)＝x＋1，xx－1，x，2]，

【答案】

(1)×

(2)√

(3)×

教材整理2 函数的单调性与单调区间

阅读教材P29第一段，完成下列问题．

函数的单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

函数f(x)＝x－2x＋3的单调减区间是________．

【解析】

因为f(x)＝x－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1)．

22【答案】

(－∞，1)

[小组合作型]

求函数的单调区间

求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．

1(1)f(x)＝－；

x2x＋1，(2)f(x)＝5－x，xx；

(3)f(x)＝－x＋2|x|＋3. 【精彩点拨】

(1)根据反比例函数的单调性求解；(2)根据自变量的范围分段求出相应的函数的单调区间；(3)做出函数的图象求其单调区间．

1【自主解答】

(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，2x0)，(0，＋∞)上都是增函数．

(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．

－x＋2x＋3，x≥02(3)因为f(x)＝－x＋2|x|＋3＝2－x－2x＋3，x<0.2

根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，

函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，[0,1)，(－1,0)，[1，＋∞)．

f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．

1．求函数单调区间的方法

(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；

(2)利用函数的图象，如本例(3)．

2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．

[再练一题] 1．

函数f(x)＝－x＋2ax＋3(a∈R)的单调减区间为________. 【解析】

因为函数f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴为x＝a，所以f(x)的单调减区间为(a，＋∞)．

2

【答案】

(a，＋∞)

函数单调性的判定与证明

(1)下列四个函数中在(0，＋∞)上为增函数的是(

)

A．f(x)＝3－x 1C．f(x)＝ x(2)用单调性定义证明函数f(x)＝B．f(x)＝(x－1)

D．f(x)＝x＋2x

22x2x2－1在区间(0,1)上是减函数．

【精彩点拨】

(1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断．

(2)利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得．

【自主解答】

(1)A.f(x)＝3－x在(0，＋∞)上为减函数．B.f(x)＝(x－1)是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，它的单调增区间为(1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上不为单调函数．C.f(x)＝在(0，＋∞)上为减函数．D.f(x)＝x＋2x是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝－1，则它的单调递增区间是(－1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上为增函数．

【答案】

D (2)设x1，x2∈(0,1)且x1＜x2，则

21x2f(x1)－f(x2)x2＋x1x2－＝x21x21－1x2＋. －x22x22－1＝2x22－x1x2x21－2－＝x1－x2－x1x1＋∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.∵x1，x2∈(0,1)，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，

∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，

所以，函数f(x)＝x2x2－1在区间(0,1)上是减函数．

利用定义证明函数单调性的4个步骤

[再练一题] 112．已知函数f(x)＝－，用单调性定义证明f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数. ax【证明】

设任意x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0. 111111x2－x1>0，∴f(x)＞f(x)，∴f(x)在(0，∵f(x2)－f(x1)＝－－－＝－＝21ax2ax1x1x2x1x2＋∞)上是单调递增函数．

[探究共研型]

函数单调性的应用

探究1 若函数f(x)是其定义域上的增函数，且f(a)>f(b)，则a，b满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？

【提示】

若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)>f(b)时，a>b；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)>f(b)时，a

【提示】

因为函数f(x)＝x－2ax＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝a，所以其单调增区间为(a，＋∞)，由题意可得(2，＋∞)⊆(a，＋∞)，所以a≤2.

(1)f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，a∈R，则(

) A．f(a)＜f(2a) C．f(a＋1)＜f(a) 2222B．f(a)＜f(a) D．f(a＋a)＜f(a) 22(2)如果函数f(x)＝x－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为(

) A．b＝3 C．b≤3

B．b≥3

D．b≠3

【精彩点拨】

(1)先比较题中变量的大小关系，再利用减函数中大自变量对应小函数值，小自变量对应大函数值来找答案即可．

(2)分析函数f(x)＝x－2bx＋2的图象和性质，利用二次函数的单调性即可得出b的取值范围．

2

【自主解答】

(1)因为a∈R，所以a－2a＝－a与0的大小关系不定，无法比较f(a)与f(2a)的大小，故A错；而a－a＝a(a－1)与0的大小关系也不定，也无法比较f(a)与22f(a)的大小，故B错；又因为a2＋1－a＝a－2＋＞0，所以a2＋1＞a.又f(x)为(－∞，2134＋∞)上的减函数，故有f(a＋1)＜f(a)，故C对；易知D错．故选C. (2)函数f(x)＝x－2bx＋2的图象是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，

若函数f(x)＝x－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C. 【答案】

(1)C (2)C

222

1．函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．

2．已知函数的单调性求参数的取值范围的方法

(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．

(2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解．

(3)要注意：“函数f(x)的增区间是(a，b)”与“函数f(x)在区间(a，b)上单调递增”是不同的，后者意味着区间(a，b)是函数f(x)的增区间的一个子集．

[再练一题] 3．已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，求实数x的取值范围为________．

【解析】

∵f(x)是R上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，

∴2x－3>5x＋6，

即x<－3. 【答案】

(－∞，－3)

1．函数f(x)＝－x＋2x＋3的单调减区间是(

)

A．(－∞，1) C．(－∞，2) B．(1，＋∞)

D．(2，＋∞)

2

【解析】

易知函数f(x)＝－x＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．

【答案】

B 2．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是(

) A．y＝2x＋1 C．y＝3－x B．y＝x＋1 D．y＝x＋2x＋1 222【解析】

函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数．

【答案】

C 13．若x1，x2∈(－∞，0)，且x1

) xA．f(x1)>f(x2) C．f(x1)＝f(x2) B．f(x1)

1【解析】

∵函数f(x)＝－在(－∞，0)上是增函数，又∵x1，x2∈(－∞，0)，且x1

【答案】

B

4．已知函数f(x)＝ax＋2是减函数，则实数a的取值范围是________．

【解析】

易知函数f(x)＝ax＋2是一次函数，又因为它是减函数，所以a<0. 【答案】

(－∞，0) 15．证明：函数f(x)＝x＋在(－1,0)上是减函数．

x11【证明】

设－1＜x1＜x2＜0，则有f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2＋＝(x1－x2)＋xx12x1x2－1－1＝x1－x2x1x2x1x2＞0，x1－x2＜0，

，由于－1＜x1＜x2＜0,0＜x1x2＜1，x1x2－1＜0，又x1x2则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，

所以函数在(－1,0)上为减函数．