小结优质课教案整理

四川省资中县第二中学

高中数学必修1第一章知识小结教学设计

第一章

集合与函数概念

资中二中

吴涛

一、教学目标：

1．知识与技能目标：

（1）通过回顾集合与函数的概念及表示法，构建单元知识网络；整合知识，使知识系统化. （2）进一步提升学生的集合思想与函数思想.

2．过程与方法目标：

通过知识的整理，知识与方法的综合应用，加深对知识的理解.提升应用基本方法的能力，从而使学生系统地掌握的知识与方法.

3．情感、态度与价值观目标：

在知识的回顾、整理过程中体会数学知识的整体性和关联性. 感受数学的系统化与结构化的特征.

二、教学重、难点：

重点：构建知识体系；难点：整合基本数学知识、数学思想和数学方法.

三、教学准备：多媒体、三角尺、彩色粉笔

四、教学过程：

（一）复习回顾：

(I)本章知识一览图：

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(II)具体内容：

1、集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。

2、元素与集合的关系：、

3、数集的符号：自然数集；正整数集N*或N；整数集；有理数

集Q；实数集R. 4、集合与集合的关系：、、= 5、若集合中有n个元素，则它的子集个数为2n；真子集个数为2n1；非空子集个数为2n1；非空真子集个数为2n2. 6、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 7、子集的性质：

（1）（即任何一个集合是它本身的子集）；

（2）若AB，BC，则AC；

C，则AC.

（3）若AB，B8、集合的基本运算

（1）并集：xx或x

（2）交集：xx且x

（3）补集：

，且

，，

,

（4）性质：①，；②，

,

；

③

,

，

（

）

，

,

=

9、函数的三要素：定义域、值域和对应法则. 10、（一）求函数定义域的原则：

（1）若fx为整式，则其定义域是R；

（2）若fx为分式，则其定义域是使分母不为0的实数集合；

（3）若fx是二次根式（偶次根式），则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；

（4）若fxx0，则其定义域是xx0；

（二）求函数值域的方法以及分段函数求值

（三）求函数的解析式



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11、函数的单调性：

（1）增函数：设x1,x2（fx的定义域），当x1x2时，有f(x1)f(x2). （2）减函数：设x1,x2（fx的定义域），当x1x2时，有f(x1)f(x2). 强调四点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在AB上是增（或减）函数．

④定义的变形应用：如果证得对任意的x1,x2(a,b)，且x1x2有f(x2)f(x1)0或者(f(x2)f(x1))(x2x1)0，能断定函数f(x)在区间(a,b)x2x1上是增函数；如果证得对任意的x1,x2(a,b)，且x1x2有f(x2)f(x1)0或者x2x1(f(x2)f(x1))(x2x1)0，能断定函数f(x)在区间(a,b)上是减函数。

几点说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区

上是增函数，而在另一些区间上不是增函数；函数的单调区间是其定义域的子集；该区间内任意的两个实数，忽略任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）；讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域。

（3）三类函数的单调性：

①一次函数fxkxb

当k0时，函数fx在R上是增函数；当k0时，函数fx在R上是减函数. ②反比例函数fxkb

xa当k0时，函数fx在,a,a,上是减函数；

当k0时，函数fx在,a,a,上是增函数.

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2③二次函数fxaxbxc

bb,,a0时，函数fx在上是减函数；

上是增函数，在2a2a当a0时，函数fx在bb,上是减函数，在,上是增函数. 2a2a（4）证明函数单调性的方法步骤：（i）定义：设值、作差、变形、断号、定论．

即证明函数单调性的一般步骤是：⑴设x1,x2是给定区间内的任意两个值，且x1<⑵作差f(x1)－f(x2)，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断f(x1)x2；－f(x2)的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据f(x1)－f(x2)的符号确定其增减性. （5）如何求函数的单调区间

（6）复合函数的单调性：同增异减

（7）函数fx在(a,b)上是减函数和函数fx的单调递减区间是(a,b)的区别。

12、函数的奇偶性：

（1）奇函数：fxfx

（2）偶函数：fxfxf(x)f(x)

注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性

②由于任意x和x均要在定义域内，故奇（偶）函数的定义域一定关于原点对称．所以我们在判定函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称

③若奇函数的定义域中有零，则其函数图象必过原点，即f(0)0. ④函数的单调性是对区间而言，它是“局部”性质；而函数的奇偶性是对整个定义域而言的，它是“整体”性质

⑤偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函数在对称区间上的单调性相同。

（3）证明和判断函数奇偶性的方法步骤：

利用定义判断函数奇偶性的一般步骤：

①

首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f(x)与f(x)的关系；

③作出相应结论：

若f(x)f(x)或f(x)f(x)0,则f(x)是偶函数；

若f(x)f(x)或f(x)f(x)0,则f(x)是奇函数．

（4）奇偶函数图象的性质特点：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关

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于原点对称．

（5）函数f(xa)为奇函数可推得：

（6）函数f(xa)为偶函数可推得：

（7）两个函数的定义域的交集非空，则有奇函数与偶函数的乘积是奇函数，奇函数与奇函数的成绩是偶函数，偶函数与偶函数的乘积是偶函数。

13、函数的图象及其变换、对称性：

（1）函数的轴对称：

定理1：如果函数yfx满足faxfbx，则函数yfx的图象关于直线xab对称. 2推论1：如果函数yfx满足faxfax，则函数yfx的图象关于直线xa对称. 推论2：如果函数yfx满足fxfx，则函数yfx的图象关于直线x0（y轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化. （2）函数的点对称：

定理2：如果函数yfx满足faxfax2b，则函数yfx的图象关于点a,b对称. 推论3：如果函数yfx满足faxfax0，则函数yfx的图象关于点a,0对称. 推论4：如果函数yfx满足fxfx0，则函数yfx的图象关于原点0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.

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（二）典例讲解

1A，a1且1A. 1a⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素. ⑵A能否为单元素集合？请说明理由. 1⑶若a∈A，证明：1－∈A.

a⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素. 1解：⑴2∈A  －1∈A 

∈A  2∈A

21∴ A中至少还有两个元素：－1和

21⑵如果A为单元素集合，则a＝

1a例1

设A是实数集，满足若a∈A，则即a2a1＝0 该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集

⑶a∈A  1∈A 

1a1111a∈A1a1A，即1－∈A

a1a11111∈A， 1－∈A .现在证明a,1－, 三数互aa1a1a11不相等.①若a=,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠

1a1a11②若a=1－，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－ aa1111

③若1－ =，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠. a1aa1a综上所述，集合A中至少有三个不同的元素. ⑷由⑶知a∈A时，

例2

设集合A={a|a=n21,n∈N+}，集合B={b|b=k24k5,k∈N+}，试证：AB．

证明：任设a∈A， 则a=n21=(n＋2)2－4(n＋2)＋5 (n∈N+), ∵

n∈N*，∴ n＋2∈N*

∴

a∈B故

①

显然，1Aa|an21,nN*，而由

k∈N+}知1∈B，B={b|b=k24k5,k∈N+}={b|b=(k2)21，于是A≠B

②

由①、②

得AB．

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例3汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D. 2x,x2,例4

已知函数fx函数gxbf2x，其中bR，若2x2,x2,函数

yfxgx与x轴恰有4个交点，则b的取值范围为（

D ）

7777（A）,

（B）,

（C）0,（D）,2

44442x,x2,22x,x0f(2x)试题分析：由fx得，

22x0x,x2,x2,

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2xx2,x0所以yf(x)f(2x)4x2x,0x2，

222x(x2),x2x2x2,x0即yf(x)f(2x)2,0x2

x25x8,x2yf(x)g(x)f(x)f(2x)b,所以yfxgx与x轴恰有4个交点，等价于方程f(x)f(2x)b0有4个不同的解，即函数yb与函数4个公共点，由图象可知yf(x)f(2x的图象的)

（三）课后练习：

1．已知集合Aa2,a1,3，Ba3,2a1,a21，若AB3

求实数a的值。

2．知函数f(x)3x（1）若AB，求a；

（2）若全集U{x|x4}，a=1，求CUA及A(CUB)

3．已知集合Ax|x23x20,B＝｛x｜ax20｝,若ABA,求实数a的值所组成的集合. 1的定义域为集合A，B{x|xa}

x21510524688642510157b2. 4

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（四）课堂小结

1.集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的内容.

2.运用集合与对应的语言进一步描述了函数概念.与初中的函数概念相比较，突出了函数概念的本质：两个数集间的一种确定的对应关系；明确了函数的三要素. 3.函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.函数的表示方法主要有解析法、图象法、列表法三种.

4.研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学本身的自然要求.例如：事物的变化趋势、对称性、用料最省、利润最大、效率最高等，就要研究函数的基本性质，如单调性、最大（小）值和奇偶性等. （五）课后作业：

课本P51复习参考题A组1，2，3，4，5，6，7，8，9. 补充习题：

1、已知函数f(x)x2ax2,x[5,5]，

（1）当a1时，求函数f(x)的单调区间。

（2）若函数f(x)在[5,5]上增函数，求a的取值范围。

x(2x)(2x0)2、已知函数f(x)。

x(2x)(0x2)（1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）求函数f(x)的最值。

3、已知函数f(x)x24x3，（1）若f(a1)0，求a的值；

（2）若g(x)f(x)cx为偶函数，求c。

（3）证明：函数f(x)在区间[2,)上是增函数。

4、已知函数f（x）＝x＋m，且f（1）＝2．

x（1）求m；

（2）判断f（x）的奇偶性；

（3）函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数还是减函数?并证明．

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五、板书设计

第一章集合与函数概念小结

一、知识回顾

二、例题讲解

三、知识小结

四、课后作业

多

媒

体

显

示

区