习题3.2第一课时教学设计

关于绝对值函数最值的几何探求

————函数专题复习

富阳中学

钱丽谈

一、教材分析：

本节课是在学完必修1有关函数的概念、图象和性质的基础知识及应用整章知识后的一堂专题复习课，既是对以前所学函数知识、解题方法和数学思想的总结提炼，也为学生今后进一步学习和解决其他高中数学问题提供解题思路和策略。

函数是高中数学中最核心的概念之一，贯穿于整个高中数学体系之中，含绝对值的函数最值在浙江学考、高考中频繁出现，是函数复习的重点和难点之一，因此本节复习课以解决含绝对值函数最值为教学内容。绝对值的函数往往蕴含着“距离”的几何意义，本节课凭借绝对值的几何意义来求解题目体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。

二、学情分析：

在新课学习中，学生已经掌握了绝对值函数的几何意义，基本初等函数图象和性质等基础知识，这为本节课的学习奠定了必要的知识基础，同时经过高中1年时间的训练，学生分析、理解能力较学习新课时明显提高，但学生的思维不够敏捷，归纳概括能力有待提高，学生之间能力差异较大，要加强他们全面深入探究问题能力。因此本节课采用低起点，小步子，高落点的教学授课方式，通过不断的变式训练一步步加深将感性认识升华到理性认识，发展数学核心素养。

三、教学目标

基于以上对教学内容和学情的分析，将本堂课的教学目标设定为：

1.

知识与技能目标

（1）能从两个函数高度差的角度理解绝对值的几何意义；

（2）理解两列图象最大高度差的最小值的概念；

（3）掌握用两列函数图象的高度差解决绝对值函数最值的两种模型。

2.

方法与过程目标

（1）经历从不同视角解决同一问题的过程，学会多角度看问题；

（2）体验多题一解，提高对知识的整合能力和分析能力；

（3）通过对模型的归纳概括，渗透由特殊到一般、由具体到抽象的认识规律，提高数学抽象、直观想象核心素养。

3.

情感、态度与价值观目标

（1）在解决问题过程中形成见数思形、以形助数的思维习惯；

（2）感受事物之间的普遍联系，学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。

四、教学重难点

1.

重点：

用“两列函数图象的高度差”解决绝对值函数最值的两种模型的归纳和应用，本节课将通过学生自主探究、归纳概括，并反复运用模型解决问题的形式来突出重点。

2.

难点：

两列图象最大高度差的最小值概念的理解和两种模型的提炼，本节课将通过几何画板动态演示和实物演示增加直观效果来突破对两列图象最大高度差的最小值概念的理解。通过变式教学的方法，让学生经历从特殊到一般的思维过程来突破两种模型的提炼的难点。

1

五、教学方法

针对本节课的教学目标和学生的实际情况，在教学中采用“变式教学”的教学方法。在变式教学中充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生数学核心素养。 教学手段：多媒体课件、几何画板、手机辅助教学

六、教学过程

1.

教学结构设计

引例探究

探究问题，发现解题思路

变式训练，深化拓展

归纳概括，形成模式

变式提升

链接学考、高考

模型应用，落实学考、高考

小结反思，提高认识

课堂小结

布置作业，独立探究

2.

教学过程

教学

环节

引例

探究

教学内容

2引例：函数f(x)=|-x|，xÎ[1,2]

x 的最大值为________.教师活动

组织、引导学生对问题从不同视角进行探究，对学生给出的解法进行点评

学生活动

设计意图

独立解答。

解法一：函数的单调性

通过具体的问题发展学生自解法二：绝对值的几何解决，主探索能力

意义：距离

变式

提升

变式1：已知函数f(x)=|x2-a|(aÎR)在xÎ[1,2]上的最大值M(a)的最小值是____.

2变式2:已知函数f(x)=|x+-a|(aÎR)x

在xÎ[1,4]上的最大值M(a)的最小值是____.引导学生从两列独立思考、回答

图象高度差的角度思考，几何画板动画演示学生的解答，

引导学生观察与类比变式1，快速给出变式1的共同点，答案

几何画板动画演示学生的解答

组织学生对变式1，2的题型和解法的共同点进行归纳概括，并用A4纸直观演示取最2 提高学生数学迁移能力

提高学生类比推理能力

模型一：若|f(x)-a|的最大值为M(a)，则学生独立思考，

归纳模型

提高学生归纳概括能力

M(a)minfmax(x)fmin(x)2

小值时的特殊位置2变式3:已知函数f(x)=|2x-ax-b|引导学生观察变(a,b挝R)在x[0,2]上的最大值为M，

式3与前两个变式改如何则M的最小值是___,此时a=___,b=__.有何区别，改进解题方法？

用几何画板动态演示帮助学生找到答案

2

变式4:设函数f(x)=|-ax-b|(a,b?R),x引导学生观察与若对任意a和实数b，总存在x0Î[1,2]，变式3的共同点，几何画板动画演使得f(x0)³m,则实数m的取值范围是________.示学生的解答

若f(x)是凹凸函数，|f(x)-axb|

的最大值为M（a,b）,求M（a,b）的最小值.

引导学生从特殊1.

将f(x)首尾相连为l1

到一般归纳模型2 2.过f(x)图象上一点作与直线l1平行的并用A4纸直观演切线l2

示取最小值时的|b1-b2|特殊位置

3.M(a,b)min学生独立思考，探究，动手画图

提高学生数学迁移能力和直观想象能力

通过模仿变式3的解答，快速找到答案

提高学生类比推理能力

促进学生学会从特殊到一般解决问题

独立思考、归纳模型

2

(2017高考)已知aÎR,函数4-a|+a在区间[1,4]x上的最大值是5,则a的取值范围是____.f(x)=|x+

链接学考、 高考

(20151.学考)设函数f(x)=|x-ax-b|

实数x0纬[0,4],使不等式f(x0)组织学生独立完成练习；

巡视，点评学生的解答。

独立思考、完成练习

(a,bÎR),若对任意实数a,b,总存在m成立,则实数m的取值范围是________.

通过解决学考和高考题进一步理解和熟练含绝对值函数最值的两种模型，同时通过对学考、高考题的顺利解决感受成功的喜悦

课堂

一个意义：绝对值即距离

两种模型：

1|f(x)-a|的最大值为M（a），小结

（）若则M(a)minfmax(x)fmin(x)2

师生共同归纳小结

（2）若f(x)是凹凸函数，|f(x)-axb| 的最大值为M（a,b）, 则M（a,b）min|b1-b2|2课时作业《含绝对值函数的值域与最布置

值》

作业

3

将新学的知识纳入到学生的认知结构中

批改作业并对学生的作业情况给出评价

完成作业

巩固提升

七、板书设计：

关于绝对值函数最值的几何探求1、绝对值的几何意义：

…………………………

2、模型一

……………………………

3.

模型二

……………………………

引例：

…………………………

变式1：

…………………………

变式2：

……………………………

变式3：

……………………………

变式4：

……………………………

八、教学反思

本节课的教学内容有一定难度，对学生的理解能力要求较高，因此本节课采用低起点、小步子、高落点的教学策略进行教学，使所有学生都能参与到教学活动中，活跃课堂教学氛围，通过变式教学，使学生能够“跳一跳摘到桃子”，符合“最近发展区”理论，使学生能通过对学考和高考题的解决感受成功的喜悦。

本节课对每一个变式都制作了几何画板，让学生通过图形的动态变化，直观感受两列图象距离最大值的变化规律，进而理解绝对值里的内容通常是一直一曲，可看作是一个曲线函数和一个直线函数在作差，从而突破本节课的难点，准确归纳出两种重要模型。

但是对进入高中学习才1年的学生来说,本节课思维难度偏大，部分学生对两种模型的理解和认识还有待提高。

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