习题2.2板书设计及设计说明

教学内容

（章节）

课程类型

教材分析：

本节内容是必修1第二章基本初等函数(Ⅰ) 2.2.2节对数函数及其性质第一课时。主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处，学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高。对对数函数概念的理解，图象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识的系统性，有利于进一步加深对函数思想方法的理解。为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。

教学目标：

（一）知识与技能

1.理解对数函数的概念；

2.掌握对数函数的图像和性质，并在探索过程中学会运用数形结合的方法研究问题；

（二）过程与方法

1.通过动手作图，分组讨论对数函数的性质，提高动手能力，以及分析解决问题的能力；

2.通过类比指数函数性质研究对数函数，培养运用类比的思想研究数学问题的素养；

（三）情感、态度与价值观 在知识形成的过程中，体会成功的乐趣，感受数学图形的美，激发学习数学的热情，培养勇于探索敢于创新的精神。

教学重点、难点：

（一）教学重点

理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质。

（二）教学难点

底数a对图象的影响及对数函数性质的作用。

教

具：PPT 教学方法：启发引导，讲练结合

概念课

必修1

2.2.2 对数函数及其性质（第一课时）

课时安排

2课时

班级

407

教学过程（不够请附页）：

1.复习引入

由指数与对数等价转化入手，复习回顾指数函数的定义，并将指数函数转化为对数式x=logay。

提问：这个对数式x=logay是不是函数？

这是一个函数，类比指数函数，对对数函数下定义。

2.形成概念

定义：一般地，我们把函数y=logax（a>0,且a≠1）叫做对数函数。其中x是自变量，定义域为（0，+∞）。

【活动1】提问：（1）在函数的定义中，为什么要限定a＞0且a≠1。

（2）为什么对数函数（a＞0且a≠1）的定义域是（0，+∞）。组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解。

答：（1）根据对数与指数式的关系，知ylogax可化为ayx，由指数的概念，要使有意义，必须规定a＞0且a≠1。

（2）因为ylogax可化为ayx，不管y取什么值，由指数函数的性质，ay＞0，所以x>0。

设计意图：通过对定义的进一步理解，培养学生思维的严密性和批判性。

【活动2】例1判断下列函数哪些是对数函数。（同学们一起回答）

①ylog3x②y2log2x③ylog8x1

2④ylogax(a0,且a1)⑤ylogxa(x0,且x1,a0)讲解：对数函数是形式化定义，它具有形式严格性。

（1）对数的形式，系数必须为1；

（2）底数为大于0，且不等于1的常数；

（3）真数仅有自变量x，定义域为(0,+∞).

设计意图：借助例题说明对数函数与指数函数一样，都是形式化定义，加深学生对对数函数概念的理解。

【活动3】例2求下列函数的定义域。（请个别同学回答）

①ylog2(4x)②ylog(x2)(5x)

③yln(164x)④yloga(axa2)(a0,且a1)讲解：

（1）对数的底数大于0，且不等于1；

（2）真数部分大于0。

设计意图：使学生掌握真数部分和底数部分的取值范围。

3.探究性质

复习回顾探究指数函数的一般步骤，进而运用类比的思想方法，探究对数函数，一般步骤为：①作出特殊的两个对数函数的图像；②猜想一般的对数函数的图像；③利用几何画板观察底数变化时，图像的变化；④由图像特征得到函数性质；⑤归纳总结对数函数性质。

【活动4】让学生在草稿纸上，利用描点法作出y=log2x和y=log0.5x的图像，并思考这两个函数图像有什么关系。

讲解：从几何的角度看，点（x，y）在y=log2x上，那么（x，-y）就在y=log0.5x上，所以两图像关于x轴对称。从代数角度看，通过换底公式，得

log2xylog1xlog2x。

12log22设计意图：学生通过动手实践，掌握对数函数的图像，并对底数互为倒数的两个对数函数的图像关于x轴对称有初步映象。

【活动5】探究底数对函数图像的影响。

先猜测底数为3和1/3，4和1/4时的图像，在之前得到的函数图像的基础上画出。再选取底数（a＞0，且a≠1）的若干不同的值，在坐标系内作出相应的对数函数的图象。

为加深学生对“底数对函数图像的影响”的理解，在学生有了初步结论后，借助几何画板，变化a的值，作出图像，使学生对此有一个直观感知。

观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？

提问：问题1:对数函数的图象恒过哪一个定点? 问题2:底数的大小对对数函数的图象有怎样的影响? 讲解：通过图像可直观得到函数图像过点（1,0）。当底数a>1时，a增大，图像与y=1的交点的横坐标越大，从形上看出，x>1部分的图像越靠近x轴，当底数01部分的图像图像越靠近x轴。

先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质。(投影)

由上述表格可知，对数函数的性质如下（学生一起完成）：

4.巩固训练

例3比较下列各组数中的两个值大小

（1）log23.4,（2）log0.31.8,（3）loga5.1,log28.5

log0.32.7

loga5.9

（a＞0，且a≠1）

分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：

（1）解法1：画出对数函数ylog2x的图象.在图象上，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方：

所以，log23.4log28.5

解法2：由函数ylog2x在R+上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4log28.5.

（2）第（2）小题类似

（3）注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.

解法1：当a＞1时，ylogax在（0，＋∞）上是增函数，且5.1＜5.9.

所以，loga5.1loga5.9

当a1时，ylogax在（0，＋∞）上是减函数，且5.1＜5.9.

所以，loga5.1loga5.9

解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一，

令

b1loga5.1,则ab15.1,

令b2loga5.9,则ab25.9,

则则a25.9

当a＞1时，yax在R上是增函数，且5.1＜5.9 所以，b1＜b2，即loga5.1＜loga5.9

当0＜a＜1时，yax在R上是减函数，且5.1＞5.9 所以，b1＜b2，即loga5.1＞loga5.9

说明：两个同底数的对数比较大小的一般步骤

（1）确定所要考察的对数函数；

（2）根据对数底数判断对数函数的增减性；

（3）比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两个对数值的大小. 例4已知下列不等式，比较正数m、n的大小

b①log3mlog3n②log0.3mlog0.3n

③logamlogan(a0且a1)答案：①m

②m

③当a>1时，mn 讲解：例4是已知对数值的大小，比较真数大小，与例3刚好相反。

例5比较下列各组中两个值的大小

①log67与log76②log4与log20.8

解：①∵log67>log66=1

log76log76 ②∵log4π>log41=0

log20.8log20.8

讲解：当不能直接进行比较时，可在两个对数中间插入一个已知数（如1或0等），间接比较上述两个对数的大小。化同真

例6将log0.70.8、log1.10.9、1.10.9从小到大排列

解：利用对数函数的单调性可知：

log0.70.8>log0.71=0

log0.70.8

∴log0.70.8∈(0,1)

log1.10.9

1.10.9>1.10=1 ∴log1.10.9

例7函数ylogax、ylogbx、ylogcx、ylogdx的图象如图所示，则下列式子中正确的是（

D

）

A.0

B.0

D.0

设计意图：巩固“底数对对数函数图像的影响”这一知识点。

5.小结

（1）本节要求掌握对数函数的概念、图象和性质．

（2）在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质的应用．

6.布置作业

完成《作业本》中的对应章节的作业。

板书设计：

2.2.2对数函数及其性质

一、复习回顾引入新课

指数运算对数运算

指数函数对数函数

二、对数函数的概念

１.定义

２.注意问题

三、作出函数ylog2x与函数五、例题讲解

例1.

六、归纳小结

ylog1x的图象

2四、对数函数的图象与性质