小结ppt配套的教学设计方案

课题：一道高考题引发的思考

四川师范大学附属中学 康琳

一、内容和内容解析

函数的最值问题往往涉及方程、不等式、导数等，解题的方法和策略很多，不仅技巧性很强，而且还蕴含了转化与化归、数形结合的思想。本节课的教学设计以方法为主附以知识应用和能力培养，通过对近几年的全国卷的研究，设置了2道例题，根据例题探究得出函数最值的常见方法。

二、目标和目标解析

本课时的教学目标是结合已学函数的性质、求函数的最值、导数，对高考题类型的函数最值进行方法探究，进一步培养学生的数学核心素养．具体目标如下：

1.理解函数的最大值、最小值及其几何意义。

2.运用函数图像理解和研究函数的性质。

3.能利用导数研究函数的最大值和最小值。

4.进一步形成和发展“抽象概括”、“数学运算”、“数据分析”、“直观想象”、“数学建模”等核心素养。

三、教学问题诊断分析

1．问题诊断

学生在人教版教材必修1中已经学过函数的基本性质、函数与方程；在选修2-2中已经学过导数及其应用。对于函数问题，学生已有基础，也有常用的研究方法，但是在高考时，由于时间的局限和考生心态等的原因，探究优化简洁高效的解法以及揣摩命题人命题意图就势在必行了。学生的知识迁移和思维能力需要进一步发展，使得不同层次的学生都能有所收获。所以预计在本课的学习中，学生可能出现以下困难：

（1）由四项连乘的结构学生很难联系到海伦公式. （2）部分学生求导后三次方程不能正确分解因式，导致放弃或错解. 2．重难点

重点：函数最值的不同解法以及如何优化解法。

难点：如何优化解法。

3.突出重点、突破难点的策略

本节课的教学，根据“问题为载体，活动为主线”的设计思路，遵循概念复习课的学习规律，使学生在过程中感受数形结合、降维、方程的数学思想．具体表现在：

（1）让学生经历“演示—合作—讨论—发现—总结—实践”

的探究过程，逐步递进的教学方式，学生通过小组探究，成果展示的活动。

（2）在原有认知水平基础上，经过对比、分析、启发，不断深入理解函数最值的求法，并能对知识灵活运用，最终实现知识和能力上的提升。

四、教学支持条件分析

1．学情分析

本授课对象是成都市四川师范大学附属中学高二理科实验班的学生，他们已经学习了函数的概念和性质、函数与方程、导数及其应用，具备了一定的自身经验储备；另外，该班学生数学基础扎实，思维较活跃，具有一定的探究活动经验.但是高一的学习过程中，也明显地表现出学习中的一些不足，比如：自觉利用函数思想分析解决问题的意识淡化，自觉对比已有知识结构，建构新的知识网络的能力有待加强等. 2．教学策略与教法、学法

本课将采用“问题驱动”教学基本模式，在情景中发现问题，在探究中提出问题，在独立思考与合作交流中解决问题，在解决问题之后再提出新的问题，以问题带动学习.

教师的教法注重活动的安排和问题的引导，通过问题引导学生观察、分析、类比、归纳演绎. 相应地，学生的学法则注重独立探究、合作交流、归纳建构. 教具：多媒体PPT课件，几何画板，彩色粉笔. 学具：教材、导学案、草稿本. 五、教学过程设计

结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节如下：

※课前预习

课前给学生布置了这道例题，研究不同的解法.

【师生活动】课前教师指导学生预习方法，提出预习目标和要求. 【设计意图】培养学生良好的学习习惯，为课堂听课做准备

※探究典例、提炼方法

2【例题】若函数fx1xx2axb的图像关于直线x2对称,则fx的最大

值为.

学生活动一【如何确定a,b的值】

【师生活动】学生分类展示和讲解合作成果，感受和思考不同的解法.教师记录主要思路及关键方法，提炼核心素养，引导学生探究解法，优化解法. 【探究一】确定a,b

的值（此思路直接且常规，绝大部分学生选择）

解法1. 因为函数f(x)的图像关于直线x2对称，所以f(x)f(x4)①，或者f(2x)f(2x). 评注：数学抽象得到表达式，构造a,b

的方程组，（1）代入函数展开合并同类项后，对应项系数相等，此法运算量很大，选择的学生都中途放弃，和学生一起分析原因，提出代数运算有时需要对算法进行推理和选择；（2）定义域内任意的x

都满足①式，故取两个特殊值x0,x2

得方程f(0)f(04)和f(2)f(24)，计算可得a8,b15

.

此法运算量较法（1）大大减少，学生都能正确计算；（3）因为直线x2是函数f(x)的图像对称轴，所以f'(2)0，又

f(0)f(04)，计算可得a8,b15.

解法2.观察函数结构，发现1

是函数f(x)的两个零点，由函数图像关于直线x2对称得，3,5

是函数f(x)的两个零点，即3,5是二次方程x2axb0的两个根，由韦达定理可得a8,b15. 【设计意图】学生感觉符号语言与图形语言互相转化，准确的推理论证，再利用函数与方程的思想，可以得到此种较为简便的解法，教学时利用动画生成函数f(x)

的图像，让学生直观感受数形结合给解题带来的快捷. 解法3.

函数f(x)

的图像往右平移两个单位，关于x0

对称，即f(x2)是偶函数

f(x2)x4(8a)x3(6ab23)x2(11a4b28)x126a3b8a01a1b4，得2a8,b15.

，得【设计意图】经过推理和空间想象，图形语言转化到符号语言，再由高次多项式的奇偶特点构造方程组，虽然运算不简单，但是运用基础知识提供不同的思路. 解法4.对于偶函数g(x)xcxe往左平移两个单位得f(x)g(x2)42(x2)4c(x2)2e，由1

是函数f(x)的两个零点，得f(1)1ce0

f(1)819ce0，得c10,e9.

【设计意图】逆向思考由高次多项式的奇偶特点构造方程组.总之，通过课前学案，了解学生已有认知，在碰撞出的思维火花中，提升知识和能力水平.

学生活动二【如何求函数的最值】

【探究二】求函数f(x)

的最大值

【师生活动】让学生类比学生活动一进行合作探究，然后进行充分交流，最后展示.期间根据情况追问，最后由学生归纳，教师展示学生的思路.

解法1.由函数f(x)(1x2)(x28x15)，得f'(x)4x324x228x84(x2)x(24x，令1)f'(x)0，得x2,25

x

(,25)25(25,2)

2

(2,25)25(25,)

f'(x)



0



0



0



f(x)

单调递增

极大值

单调递减

极大值

单调递增

极大值

单调递减

则函数f(x)

的最大值f(25)f(25)16 .

评注：通过求导研究函数最值是学生熟悉的方法，思维难度小于运算难度.

部分学生求3232导后三次方程4x24x28x80（等价于x6x7x20）不能正确分解因式，导致放弃或错解，这里提供三种分解方法：①待定系数，观察出2

是方程x36x27x20的一个根，令

x36x27x2(x2)(x2bxc)

，利用同类项系数关系求出b4,c1

②多项式除法

③三次方程求根公式（选修2-2P113

阅读与思考的代数基本定理）

解法2.

思路探究一解法2得f(x)(x1)(x1)(x3)(x5)，函数图像如下，可得f(x)最大值在x1,x2取，不妨设x1x2,且x1(5,3),x2(1,1)，f'(x)4(x2)(x24x1)

，xi是方程x24x10的两个根（i1,2

）. f(x)最大值f(xi)

(1xi2)(xi28xi15)4xi(4xi16)16(xi24xi)16. 评注：函数最值在端点或极值点取，利用虚设的零点整体代入运算，降低运算难度.

解法3.

思路探究一解法2得f(x)(1x2)(x3)(x5)(x24x5)(x24x3)(1x)(x1)(x3)(x5)222(x2)9(x2)7，令(x2)t,t0

，则y(t9)(t7)

，得y

的最大值为16

. 【设计意图】局部换元后，从代数角度发现函数结构更为简洁，从几何角度发现函数右移两个单位后得到四次偶函数，转化为基本初等函数求最值，建立不同的数学模型会更带来不同的运算.数形结合能帮助学生理解换元的意义. 解法4.

f(x)(1x)(x1)(x3)(x5)，观察结构发现可以和海伦公式

abc详见必修5P21

阅读与思考）联系.2由函数图像可知当5x3

或1x1

时，f(x)取得最大值，不妨设1x1，（Sp(pa)(pb)(pc)

，其中p则1x,x1,x3,x5均大于零，由(1x)(x1)(x3)(x5)2x102p，所以

x(1,1),2x4(2,6)

，构造ABC

,1ACB(0,)

BC2,AC4

,则SABC的最大值为244

，所以f(x)

的最2大值16.

px5，得a2,b4,c2x4,

解法5.思路探究一解法4有f(x2)=x410x29(x25)216，得f(x)

的最大值16.

【设计意图】由四项连乘的结构联系到海伦公式，体现数学建模的思想，知识的迁移也反映了学生的能力.平移变化后，结构简化，研究对象转移. 通过动画展示，引导学生直观想象，发现平移后，零点也移动，而最值不变.于是产生下面的解法. 【探究三】转化为偶函数研究最值

1

是函数f(x)的两个零点，向右平移两个单位后得到的函数g(x)

有零点3,1

，再由g(x)为偶函数得到另外两个零点3,1，即g(x)(x1)(x9)，由g(x)的图像可得，当3x1

或1x3

时，g(x)取得最大值.由均值不等式可得

22x219x2g(x)(x1)(9x)()16，当且仅当x219x2，即x5

222时

取等号.

【设计意图】引导学生直观想象，函数图像平移前后的变与不变，再利用均值不等式，化繁为简，巧妙求最值. ※课堂小结 小结今天所学内容：知识点？主要思想方法？

【师生活动】学生发言谈通过这道题的学习有什么收获和感悟，教师点评和总结

【设计意图】函数最值问题的解决方法较多，对此类题的研究，学生既要有扎实的基础知识，又要熟悉数学思想方法，更要注重数学能力，而数学核心素养的培养能够让学生的数学能力更上一层楼. ※效果测评

在本节课的教学中，为了达成教学目标，我注意了教学环节的设计与教学目标的达成相呼应，做到目标确定环节，此外，课堂中我还设计了以下目标检测环节：

2x1x1【思考题】已知函数fxx2xaee有唯一零点，则a( ) 

111A.

B.

C.

D.1

232【师生活动】现场统计做出正确答案的人数. 【设计意图】一题多解虽然能感受各种解法，但是在考试时考虑时间和运算，就需要找到最优解答.

六、教学反思

微专题要瞄准一个点，复习主要是针对学生掌握的薄弱环节或者高考热点问题，每节课应聚焦一个问题的解决，目标明确，重点突出，删繁就简，直击要害. 微专题要形成解一类问题的基本思路与方法通过微专题的研究，在教师的引导下，通过基本问题的解决，学生能归纳出解题方法，更重要的是要形成解题思路，会根据条件和目标的要求进行合理的转化，建立适当的模型，做到有章可循，有法可依，方法有效．在此基础上，通过对典型问题的探究，学生能根据自己的体会去尝试解决问题，形成能力．通过相应的反馈巩固练习，固化学生的思维．微专题可尝试多样化的组织形式微专题教学可以由老师讲授为主，也可以组织学生开展自主合作探究学习．我则更多地采取了后一种方式，实践证明效果很好．