2.2.1 函数的单调性名师教学实录

2.2.1

函数的简单性质—单调性

教学目标：1．理解函数单调性的定义；

2．能够根据图像正确的指出单调区间；

3．会判断并证明函数的单调性；

4．会运用函数图像理解并研究函数．

一、问题情境：

1. 如图为某市一天内的气温变化图：

（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．

（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？

2. 分别作出下列函数的图像：

（1）y2x；

（2）yx2；

（3）yx；

（4）y1．

x根据四个函数图像，分别指出当x(0,)时，图像的变化趋势？

二、学生活动：

1.

引导学生对问题2进行探讨———观察分析：

发现：（1）x1x2，则f(x1)

f(x2)；

（2）0x1x2，则f(x1)

f(x2)；

（3）x1x2，则f(x1)

f(x2)；

（4）0x1x2，则f(x1)

f(x2)．

2. 问题：如何用数学语言刻画它们的这种变量关系？

三、建构教学：

1．增函数和减函数的定义：

一般地，设函f(x)的定义域为A,区间IA：

如果对于区间I内的

任意

两个值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是

单调增函数

，I称为yf(x)的

单调增区间

．

如果对于区间I内的

任意

两个值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是

单调减函数

，I称为yf(x)的

单调减区间

．

【思考】1. 定义中的

“任意”两个字能否去掉或改为“存在”？

解：不能．x1,x2必须是该区间内的任意两个值．

不能用两个特殊值替换．如f(x)x2,f(1)f(2)，而f(x)在[1,2]上表示单调增函数．

2. 根据定义及反比例函数的图象，一个函数如果有两个单调增区间（或减区间）(a,b),(c,d)，能否说该函数在(a,b)(c,d)上是单调增函数（或减函数）？试举例说明．

“”解:不能．一个函数出现两个或者两个以上单调区间时，不能用而应该用

“和”来表示．如函数y其定义域为(,0)1，x(0,)，不能笼统地说，函数在(,0)(0,)上单调递减，而只能说函数在

(,0)和(0,)上都递减．

3. 分析增（减）函数的定义，如果函数f(x)在区间[a,b]上是单调增函数（或减函数）且x1,x2[a,b]时，有f(x1)f(x2)，则x1与x2的关系是什么？

解:

当f(x)在区间[a,b]上是增函数时，由f(x1)f(x2)可得x1x2；

当f(x)在区间[a,b]上是减函数时，由f(x1)f(x2)可得x1x2．

2．函数的单调性与单调区间

如果函数yf(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数yf(x)在区间I上具有

单调性

．单调增区间和单调减区间统称为

单调区间

．

【思考】1.函数的单调区间与函数的定义域有什么关系？

解：函数的单调性是对函数的定义域内的某个区间而言的，所以函数的单调区间是函数定义域的子集．

2. 根据课本上的例子，你能说出判断函数单调性的常见方法吗？

解：（1）图象法：根据图象，可直接写出该函数在某区间上的单调性；

（2）定义法：定义法是判定或证明函数单调性的常用方法．

3. 根据一次函数、二次函数、反比例函数的图象，你能写出它们的单调区间吗？

四、数学运用：

【例1】画出下列函数的图象，并写出单调区间：

（1）yx22；

（2）y(x0)．

解析：（1）函数图象如图（见课本P35图2-1-14（1））所示，单调增区间为(,0]，单调减区间为[0,)．

（2）函数图象如图（见课本P35图2-1-14（2））所示，(,0)和(0,)是两个单调增区间．

【练习】1.函数yx24x3的单调减区间是

，单调增区间是

；函数yx24x3的单调减区间是

，单调增区间是

．

2.已知函数f(x)|x1|，则f(x)在区间

上单调递减，在区间

上单调递增．

1x,

)

[2,

)

(,2；]

（2）(,1]

[1,．)

答案：（1）(,2]

[2

【例2】求证：函数f(x)1在区间(,0)上是单调增函数．

思路分析：判定或证明函数的单调性，要利用定义来解答，即取任意x1,x2(,0)且，x1x2，判定1xf(x1)f(x2)．

证明：设x1,x2为区间(,0)内的任意两个值，且x1x2，则x1x20,x1x20

f(x1)f(x2)(1111xx1)(1)12，

x1x2x2x1x1x2

f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)．

故f(x)1在区间(,0)上是单调增函数．

【练习】1.设函数f(x)3x1(xR)，证明函数f(x)在R上是单调减函数．

2.

证明函数f(x)x24x3在[2,)上是单调增函数．

3. 证明函数fxx证明：略

总结：根据定义证明函数的单调性可按如下步骤进行：

（1）取值：在给定区间上任取两个值x1,x2，且x1x2；

（2）作差变形：计算f(x1)f(x2)，通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形；

（3）定号：判断上式的符号，若不能确定，则可分区间讨论；

（4）结论：根据差的符号，得出单调性的结论．

其中第二步是关键，在变形中一般尽量化成几个最简因式的积的形式或几个完全平方的形式．

【例3】已知函数yx22(a1)x3在区间(,3]上是增函数，求实数a的取值范围．

思路分析：利用二次函数的单调区间列出不等式求a的取值范围．

解:

yx22(a1)x3(xa1)2(a1)23．

1x1在(0,1]上是减函数．

x该函数的单调增区间为(,a1]．

函数yx22(a1)x3在区间(,3]上是增函数．

a13，即a4．

规律总结：这类题目中所给的在某一区间上是单调函数应是该函数对应单调区间的一个子集，所以可以用子集关系列出不等式求解．

【练习】1．若函数y答案：b0．

b在(0,)上是减函数，则b的取值范围是

．

x

2．已知函数f(x)x24ax1的单调增区间是[4,)，则a

． 答案：2．

3．已知函数f(x)x24ax1在区间[4,)上是增函数，求实数a的取值范围．

答案：a2．

【例4】已知f(x)是定义在[1,1]上的减函数，且f(x2)f(1x)，求实数x的取值范围．

思路分析：题目没有给出函数f(x)的解析式，因而无法求出f(x2)与f(1x)，因而可利用其单调性脱去“f”，得到关于x的不等式，再求解．

解：f(x)是定义在[1,1]上的减函数，且f(x2)f(1x)，

1x21311x1，解得x2．

2x21x3x的取值范围是(,2]

2误区警示：解答这类问题的方法就是利用函数的单调性脱去“f”再求解，但一定要在函数的定义域内求解，否则会得出错误结果．

【练习】1.已知f(x)是定义在[0,2]上的增函数，且f(2x1)f(1x)，求实数x的取值范围．

解：f(x)是定义在[0,2]上的增函数，且f(2x1)f(1x)，

02x12101x2，解得0x．

22x11x1x的取值范围是(0,]

22.

设f(x)是定义在[2,2]上的增函数，且f(x1)f(2x3)0，求实数x的取值范围． 解：f(x1)f(2x3)0，f(x1)f(2x3)

又f(x)是定义在[2,2]上的增函数，

2x12522x32，解得x2．

2x12x35x的取值范围是[,2)

2五、巩固练习：

1.下列函数在区间(0,)上是增函数的是

．

①yx22； ②y4x2； ③y答案：①②④

2.函数f(x)2x2mx3，当x[2,)时是增函数，当x(,2]时是减函数，则f(1)

．

答案：-3 2； ④y3x22x．

x

3.函数y(2k1)xb在R上为减函数，则k的取值范围为

．

答案：k

4. 函数f(x)在(0,)上是减函数,比较f(a2a1)与f()的大小．

答案：f(a2a1)f()

5. 证明函数fx1234343在[1,)上是减函数．

2x1证明：略

6. 已知f(x)在它的定义域[7,)上是增函数，且f(3)0，试解不等式f(3x2)0．

答案：3x

13x22kx1,x1（思考题）设f(x)是(,)上的增函数，求实数k的取值范围．

kx,x1思路分析：要注意分段函数端点的衔接问题．

解析：当x1时f(x)x22kx1，若在[1,)上递增，则k1；

当x1时f(x)kx，若在(,1)上递增，则k0；

又f(x)在(,)上是增函数，

2．

3

当x1时，必须k1122k11，即k从而实数k的取值范围是(0,]．

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