1.3 交集、并集设计意图

第1课时

交集、并集

[学习目标]

1.

理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. 2.

2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 3.

3.掌握区间的表示方法．

一

学习新知

(一)

交集与并集的概念

名称表示

自然语言

符号语言

读法

交集



由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

A交B 并集



由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A并B

Venn 图

思考

(1)当两个集合没有公共元素时，这两个集合就没有交集吗？

(2)对于A∩B＝∅，存在哪几种可能的情况？

（二）

交集与并集的运算性质

并集的运算性质

A∪B＝B∪A A∪A＝A A∪∅＝A A⊆B⇔A∪B＝B （三）

数集的区间表示

设a、b是两个实数，且a＜b，规定如下表：

集合

{x|a≤x≤b}

{x|a＜x＜b}

区间

[a，b]

(a，b) 交集的运算性质

A∩B＝B∩A

A∩A＝A

A∩∅＝∅

A⊆B⇔A∩B＝A

{x|a≤x＜b}

{x|a＜x≤b}

{x|x≥a}

{x|x＞a}

{x|x≤a}

{x|x＜a}

R

[a，b) (a，b] [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) (－∞，＋∞) 二

例题讲解

例1

(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N＝________. (2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q＝________. 例2

(1)已知集合A＝{0,2,4,6}，B＝{2,4,8,16}，则A∩B＝________. (2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝________. 例3

已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．

解

由A∩B＝∅，

(1)若A＝∅，有2a＞a＋3，∴a＞3. (2)若A≠∅，如下图：

2a≥－1，1∴a＋3≤5，解得－≤a≤2. 22a≤a＋3，1综上所述，a的取值范围是{a|－≤a≤2，或a＞3}．

2反思

(1)与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解．若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结．

(2)建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到，分类的标准取决于已知集合，最好是把端点值代入题目验证．

例4

设集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．

解

A＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，B是关于x的方程x2＋x＋a＝0的解集．

∵A∪B＝A，∴B⊆A. ∵A＝{－1,2}≠∅，∴B＝∅，或B≠∅. 1当B＝∅时，关于x的方程x2＋x＋a＝0无实数解，则有Δ＝1－4a<0，即a>. 4

当B≠∅时，关于x的方程x2＋x＋a＝0有实数解．

1若B中仅有一个元素，则Δ＝0，即a＝，

411此时B＝{x|x2＋x＋＝0}＝{－}．

421∵－∉A，

21∴B不是A的子集，即a＝不合题意．

4若B中含有两个元素，则必有B＝{－1,2}，则－1和2是关于x的方程x2＋x＋a＝0的解，

－1＋2＝－1，∴

－1×2＝a，1＝－1，即

a＝－2.

∵1≠－1，∴此种情况不合题意．

1综上可得，实数a的取值范围是{a|a>}．

4反思

(1)通过深刻理解集合的表示方法，把A∩B＝A(或A∪B＝A)转化为集合之间的关系A⊆B(或B⊆A)，从而把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题，这种思想称为化归思想，是数学中常用的思想方法之一．

(2)解本题时，特别容易出现的错误是遗漏了B＝∅的情形，其原因是对B⊆A的理解不够充分．对于B⊆A，当A≠∅时，则有B＝∅，或B≠∅.避免出错的方法是培养利用分类讨论的数学思想方法的习惯和注意经验的积累．

三

练习巩固

1．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝________. 2．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝________. 3．设集合M＝{x|－3＜x＜2}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝________. 4．已知集合P＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝5－x2，x∈R}，则P∪Q＝________. 5．若集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，集合B＝{x|ax－2＝0}，且A∩B＝B，则由实数a组成的集合C＝________. 四

课堂小结

1.对并集、交集概念的理解

(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．

(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分．特别地，当集

合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅. 2．集合的交、并运算中的注意事项

(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．

(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．