信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆多媒体教学设计及其点评

2.2.1椭圆的轨迹及其标准方程

教学目标

1.知识与技能

(1)了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程；

(2)理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程．

2．过程与方法

(1)让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想；

(2)学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几何问题的能力．

3．情感、态度与价值观

(1)通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神．

(2)通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美，提高学生的审美情趣．

重点难点

重点：椭圆定义和标准方程．

难点：椭圆标准方程的推导过程．

椭圆定义是通过它的形成过程进行定义的，揭示了椭圆的本质属性，也是椭圆方程建立的基石，因此给学生提供动手操作、合作学习的机会，通过实验使学生去探究椭圆的形成过程，进而顺理成章的可以推导出椭圆标准方程，以实现重、难点的化解与突破．

一、椭圆的定义

问题导思

1．取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个什么图形？

【答案】

圆．

2．如果把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？

【答案】

椭圆．

3．在问题2中，移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？

【答案】

笔尖到两定点F1、F2的距离和等于常数(绳长)．

把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 二、椭圆的标准方程

问题导思

1．观察椭圆形状，你认为怎样建系才能使椭圆的方程简单？

【答案】

以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．

2．在椭圆的标准方程中，a2和b2能相等吗？你能否根据椭圆的标准方程判定椭圆的焦点位置？

【答案】

不能相等．否则就表示圆而不是椭圆了．可以根据x2与y2的分母的大小判定椭圆的焦点位置．若x2项的分母大，则焦点在x轴上；若y2项的分母较大，则焦点在y轴上．

标准方程

焦点

a，b，c的关系

三、求椭圆的标准方程

例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；

(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；

(3)经过点A(3，－2)和点B(－23，1)．

解：

(1)由于椭圆的焦点在x轴上，

x2y2∴设它的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．

ab∵2a＝＋2焦点在x轴上

x2y2＋＝1(a＞b＞0)

a2b2(－c,0)与(c,0)

c2＝a2－b2

焦点在y轴上

y2x2＋＝1(a＞b＞0) a2b2(0，－c)与(0，c) ＋－2＝10，∴a＝5. 又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. x2y2故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 259(2)由于椭圆的焦点在y轴上，

y2x2∴设它的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．

ab由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，

∴01a＋b＝12240＋＝1a2b2

3a2a2＝4，⇒2. b＝1

y22故所求椭圆的标准方程为＋x＝1. 4(3)法一

①当焦点在x轴上时，

x2y2设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．

ab依题意有2－＋b222＝1－23a21＋2＝1b

22a＝15，解得2. b＝5

x2y2故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 155②当焦点在y轴上时，

y2x2设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．

aa依题意有1a＋2－a22＋－23b23b222＝1＝12a＝5，解得2，

b＝15

因为a＞b＞0，所以无解．

x2y2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 1553m＋4n＝1法二

设所求椭圆的方程为mx＋ny＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有，12m＋n＝12

m＝15解得1n＝51

. x2y2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 155规律方法

1．利用待定系数法求椭圆的标准方程：

(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．

2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化

了运算．

变式训练

求适合下列条件的椭圆的标准方程．

(1)焦点在x轴上，且a＝4，c＝2；

1(2)经过点A(0,2)和B(，3)．

2解

(1)a2＝16，c2＝4，∴b2＝16－4＝12 x2y2且焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1. 1612(2)设所求椭圆的标准方程为

Mx2＋Ny2＝1(M＞0，N＞0，M≠N)．

1∵椭圆经过A(0,2)和B(，3)两点，

2M·0＋N·4＝1M＝1∴1，解得1

M·＋N·3＝1N＝44.y2∴所求椭圆方程为x＋＝1. 42

四、与椭圆有关的轨迹问题

图2－2－1 例2如图2－2－1所示，圆x2＋y2＝1上任意一点P，过点P作x轴的垂线段PP′，P′为垂足．M为直线PP′上一点，且|P′M|＝λ|PP′|(λ为大于零的常数)．当点P在圆上运动时，点M的轨迹是什么？为什么？

解

设M(x，y)，P(x0，y0)，

∵PP′⊥x轴，且|P′M|＝λ|PP′|，

1∴x＝x0，y＝λy0，即x0＝x，y0＝y. λ2∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，∴x20＋y0＝1. 212y把x0＝x，y0＝y代入上式得x＋2＝1. λλ当0＜λ＜1时，点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆；

当λ＝1时，点M的轨迹是圆；

当λ＞1时，点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆．

规律方法

1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例所用方法为代入法．

2．代入法(相关点法) 若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程

F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．

代入法的主要步骤：

①设所求轨迹上任意一点P(x，y)，相对应的已知曲线上的点设为Q(x1，y1)；

x1＝g②建立关系式y1＝hx，y，x，y

(※) ③将(※)代入已知曲线方程化简就得所求轨迹方程．

变式训练

动点P在y＝2x2＋1上移动，则P点与Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是什么？

解

设P(x0，y0)，PQ的中点M(x，y) 则y－1y＝2，0x0x＝，2

x0＝2x，∴

y0＝2y＋1.

∵P(x0，y0)在y＝2x2＋1上，

∴

2(2x)2＋1＝2y＋1，

∴y＝4x2. 即PQ中点的轨迹方程为：y＝4x2.

五、当堂训练

1．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是(

) A．椭圆

B．线段

C．圆

D．以上都不对

【解析】

|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|＝4，

∴点M的轨迹为线段F1F2. 【答案】

B

x2y22．设P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(

) 2516A．10

B．8

C．5

D．4 【解析】

由标准方程得a2＝25，∴2a＝10，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. 【答案】

A 3．椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是(

) A．(±5，0)

5C．(±，0)

6B．(0，±5) 5D．(±，0) 36x2y211115【解析】

椭圆化为标准形式为＋＝1，∴a2＝，b2＝，∴c2＝a2－b2＝－＝，11494936495且焦点在x轴上，故为(±，0)．

6【答案】

C 4．已知一椭圆的标准方程中b＝3，c＝4，求此椭圆的标准方程．

解

∵b＝3，c＝4，∴b2＝9，a2＝b2＋c2＝9＋16＝25. (1)当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为

x2y2＋＝1. 259(2)当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为

x2y2＋＝1. 925六、课堂小结

1．求椭圆的标准方程常用待定系数法．首先，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，可用两种方法来解决问题．

2．求轨迹方程的常用方法：

(1)直接法

当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件转换成x，y间的关系式，从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法．

(2)定义法

若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法．

(3)相关点法

有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．