小结优秀导入

函数中两个变量的等式、不等式成立问题

毛源

教学重点：

函数中两个变量的等式、不等式成立问题

教学难点：

函数中两个变量的等式、不等式成立问题

教学方法：

探究学习法

教学过程：

今天我们利用这节课的时间来系统体会函数中两个变量的等式、不等式成立问题，其实在前面的学习中，同学们常常会遇到一个变量的不等式成立、恒成立问题，这些问题最终可以转化为函数的最值问题，在处理一个变量的不等式成立、恒成立问题时首先思考能否用单挑的方法求解，那两个变量的等式、不等式成立最终可以转化为什么问题呢？我们又怎样处理两个变量的等式、不等式成立问题呢？这节课我们根据3个例题来解决这两个问题。

例1：已知函数f(x)3x，g(x)2x4x的定义域为0,1．

（1）求g(x)的值域；

（2）是否存在实数t，若对任意的x10,1，都存在x2t,t1

使得g(x1)f(x2)3成立，若存在求出t的值，若不存在，请说明理由。

解：（1）x0,12x1,2g(x)2x4x(2x)22,0

g(x)的值域是-2，0

1214（2）假设存在实数t，对任意的x10,1，都存在x2t,t1使得

g(x1)f(x2)3成立

函数g(x)在01，上的值域0是函数y=f(x)3在t，t+1上的值域的子集

-2，由yf(x)33x3在xt,t1上单增，

tt1f(x)3在t，t+1上的值域是33,33

tt12,033,33

3t32t13t1t0，所以存在实数t=0使之成立。

330小结：两个变量的等式成立问题，可以转化为两个函数值域的子集关系问题。

例2：若函数f(x)log4(4x1)ax是定义在R上的偶函数

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）若不等式f(x)f(x)mtm对任意xR，t[2,1]恒成立，

求实数m的取值范围．

解：（1）由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(x)f(x)恒成立，

4x1即log4(41)axlog4(41)ax，所以2axlog4xlog41xx，

414xx所以(2a1)x0恒成立，则2a10，故a1．

2（Ⅱ）f(x)f(x)log4(4x1)axlog4(4x1)axlog4(4x1)log4(4x1)

log4(4x1)(4x1)log4(24x4x)log4(224x4x)1．

所以mtm1对任意t[2,1]恒成立，令h(t)mtm，

由h(2)2mm1,h(1)mm1,解得1m1，

2故实数m的取值范围是[1,1]．

2例3：:已知函数f(x)(ax2xa)ex

（1）当a0时，求函数f(x)的单调区间；

（2）设g(x)blnxx(b0)，当a时，若对任意x1(0,2)，存在x21,2，

使得f(x1)g(x2)0成立，求实数b的取值范围。

2xx解：（1）由f(x)/ax(2a1)xa1e(axa1)(x1)e

12令f(x)/0(axa1)(x1)0

a11a)(x1)0a0(x)(x1)0

aa1a1111x1,或x1

aaa1函数f(x)的单调增区间是(,1),(1,)

a1同理可求f(x)单调减区间是(1,1)

aa(x

（2）由对任意x1(0,2)时f(x1)g(x2)0f(x1)g(x2)恒成立，

那么f(x)在区间（0，2）上的最小值f(x)ming(x2)

又a1时，f(x)(1x2x1222)ex在0,1上单减，1,2上单增

总存在x21,2，使得g(x2)f(x)minf(1)0成立

函数yg(x)xblnx在x1,2上的最小值g(x)min0

又y/1bxbxx令y/0xbx1,2

当b1时，由y/0y在1,2上单增g(x)ming(1)10b无解

当1b2

由x1,b时y/0，由xb,2时y/0y在1,b上单减，在b,2增

g(x)ming(b)bblnb0b无解

当b2时由y/0y在1,2上单减g(x)ming(2)2bln20

b2ln2

法2：单挑

小结：

两个变量的不等式成立问题，可以转化为两个函数的最值问题，

最好是逐个考察变量。练习：已知函数f(x)lnex2f(1)x，g(x)3x22axf(x)（其中aR）. （1）求f(x)的单调区间；

（2）若函数g(x)在区间[2,)上为增函数，求a的取值范围；

（3）设函数h(x)x2mx4，当a1时，若存在x1(0,1]，对任意的x2[1,2]，总有g(x1)h(x2)成立，求实数m的取值范围. 总结：

课后记：学习在完成具体问题时，问题还很多。