阅读与思考 对数的发明教学设计实例

课题：§2.2.2对数函数（三）

教学目标：

知识与技能

理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加过程与方法

通过作图，体会两种函数的单调性的异同．

情感、态度、价值观

对体会指数函数与对数函数内在的对称统一．

重点 难两种函数的内在联系，反函数的概念．

难点

反函数的概念．

深对函数的模型化思想的理解．

教学重点：

教学程序与环节设计：

由函数的观点分析例题，引出反函数的概念．

创设情境

组织探究

两种函数的内在联系，图象关系．

尝试练习

简单的反函数问题，单调性问题．

巩固反思

从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的定义、图象、性质作一小结．

作业回馈

简单的反函数问题，单调性问题．

课外活动

互为反函数的函数图象的关系．

教学过程与操作设计：

环节

呈现教学材料

师生互动设计

生：独立思考完成，讨论展示并分析自材料一：

当生物死亡后，它机体内原有的碳14会己的结果．

师：引导学生分析归按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减纳，总结概括得出结为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根论：

（1）P和t之间的据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与对应关系是一一对创

生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：

应；

（2）P关于t是指函数（1）求生物死亡t年后它机体内的碳14数的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？

（2）已知一生物体内碳14的残留量为P，设

P(57301x)；

2t关于P是对数函数tlog5730情

12x，它试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来们的底数相同，所描解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？

（3）这两个函数有什么特殊的关系？

述的都是碳14的衰变过程中，碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系；

（3）本问题中的同境

（4）用映射的观点来解释P和t之间的对底数的指数函数和应关系是何种对应关系？

（5）由此你能获得怎样的启示？

对数函数，是描述同一种关系（碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系）的不同数学模型．

材料二：

由对数函数的定义可知，对数函数ylog2x是把指数函数y2x中的自变量与因变量对调位置而得出的，在列表画ylog2x的图象时，也是把指数函数y2x的对应值表里的x和y的数值对换，而得到对数函数ylog2x的对应值表，如下：

表一

y2x．

呈现教学材料

师生互动设计

生：仿照材料一分析：x

…

-3

-2

-1

0

1

2

3

…

y

…

1

1

1

1

2

4

8

…

842

y2x与ylog2x的关系．

表二

ylog2x．

x

…

-3

-2

-1

0

1

2

3

…

y

…

1

1

1

1

2

4

8

…

842

师：引导学生分析，讲评得出结论，进而引出反函数的概念．

在同一坐标系中，用描点法画出图象．

材料一：反函数的概念：

当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的师：说明：

因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个（1）互为反函数的函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称两个函数是定义域、这两个函数互为反函数．

对应由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对值域相互交换，数函数互为反函数．

法则互逆的两个函数；

材料二：以y2与ylog2x为例研究互为（2）由反函数的概反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联系？

念可知“单调函数一定有反函数”；

（3）互为反函数的两个函数是描述同一变化过程中两个变量关系的不同数学模型．

x师：引导学生探索研究材料二．

生：分组讨论材料二，选出代表阐述各自的结论，师生共同评析归纳．

求下列函数的反函数：

xy3（1）；

（2）ylog6x

生：独立完成．

从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数

函数的定义、图象、性质作一小结．

1．

求下列函数的反函数：

x

y

1

3

2

5

3

7

4

9

呈现教学材料

师生互动设计

x

y

1

3

2

5

3

7

4

9

2．（1）试着举几个满足“对定义域内任意实数a、b，都有f (a·b) = f ( a ) + f ( b ) ．”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？

答案：

1．互换x、y的数值．

（2）试着举几个满足“对定义域内任意实数2．略．

a、b，都有f (a + b) = f ( a )·f ( b ) ．”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？

xya(a0，且a1)与结论：

我们知道，指数函数

互为反函数的对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函两个函数的图象关数，那么，它们的图象有什么关系呢？运用所yx对称．

于直线学的数学知识，探索下面几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！

问题1

在同一平面直角坐标系中，画出指数xy2函数及其反函数ylog2x的图象，你能发现这两个函数的图象有什么特殊的对称性吗？

xy2问题2

取图象上的几个点，说出它们关于直线yx的对称点的坐标，并判断它们是否在ylog2x的图象上，为什么？

xy2问题3

如果P0（x0，y0）在函数的图象上，那么P0关于直线yx的对称点在函数ylog2x的图象上吗，为什么？

问题4

由上述探究过程可以得到什么结论？

xya问题5

上述结论对于指数函数

(a0，且a1)及其反函数ylogax(a0，且a1)也成立吗？为什么？