小结名师教学设计1

２．３幂函数

一、关于教学内容的思考

教学任务：帮助学生明确幂函数的概念；画出幂函数的图象；归纳出幂函数的性质．

教学目的：引导学生建立函数及研究函数性质的基本方法．

教学意义：培养学生分类讨论的思想．

二、教学过程

1．幂函数的定义：一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数．

说明：

①式子aN中，如果b是变量，我们构造了指数函数；如果N是变量，我们构成了对数函数；如果a是变量，我们构造了幂函数．

②对于幂函数，只讨论1,2,3,,1时的情形，但要求是对的情形作分析．

例

已知幂函数的图象过点(2,b12m(m,nN*且互质）n2)，

212（１）试求出此函数的解析式；（２）并作出图象，判断奇偶性、单调性。yx

说明：第（２）小题在下面图象、性质讨论后再解决。

121３．归纳1,2,3,,1时幂函数的性质：

2２．作出1,2,3,,1时幂函数图象．

（１）函数图象都通进点（１，１）；

312（２）函数yx，yx，yx是奇函数，函数yx是偶函数；

121（３）在区间(0,)上，函数yx，yx，yx，yx是增函数，函数yx是23减函数；

①

证明：函数yx在(0,)上是增函数。



②合情推理：当0时，函数yx在区间(0,)上是增函数，当0时，函12数yx在区间(0,)上是减函数；

（４）在第一象限内，函数yx的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．

例

幂函数f(x)(m3m3)x在区间(0,)上是减函数，求m的值。m1

2m1

例

已知(a1)(32a)，求实数a的取值范围。[1,)

例

已知(a1)4(32a)4，求实数a的取值范围。(,)

12122343(4,)

三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）

四、教学备用例子

１．如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数y=log1222x

、y= x

、y=(3x)的图象上，且矩2形的边分别平行于两坐标轴,若点A的纵坐标为2, 则点D的坐标为__(,19)_. 216２．点(2,2)在幂函数f(x)的图象上，点(2,)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有f(x)＞g(x)，f(x)＝g(x)，f(x)＜g(x)．

22

f(x)x，g(x)x，当x(,1)(1,)时，f(x)＞g(x)；当x1时，14f(x)＝g(x)；当(1,1)时，f(x)＜g(x)

３．已知幂函数yx3m9且在(0,)上函数值随x的增大(mN*)的图象关于y轴对称，m3而减小，求满足(a1)m3(32a)的a的范围。(,1)m2m223(,)

32４．如果幂函数y(m3m3)x2的图象不过原点，求m的值．m1orm2

五、课后作业 同步练习

１．下列函数中，定义域是R，且为增函数的是（

B

）

Ａ．yex

Ｂ．yx

Ｃ．ylnx

Ｄ．y|x|

2113２．已知m(a3)(a0)，n3，则（

B

）

Ａ．mn

Ｂ．mn

Ｃ．mn

Ｄ．m与n的大小不确定

３．幂函数yx的图象大致是（

B

）

53

４．如图所示是函数yx(m,nN且互质）的图象，则（

C

）

mnmm1

Ｂ．m是偶数，n是奇数，且1

nnmmＣ．m是偶数，n是奇数，且1

Ｄ．m是奇数，n是偶数，且1

nnＡ．m,n是奇数，且33５．若(a1)(3a2)，则实数a的取值范围是

(,)

．

32６．已知函数f(x)x2m2m3(mZ)为偶函数，且f(3)f(5)，求m的值，并2确定f(x)的解析式。f(x)x

3m9７．已知幂函数yxm3(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0,)上单调递减，求满足2332(a1)(32a)m3的a的取值范围。(,)(,1)

13131313８．已知函数f(x)xx5,g(x)xx5．

（1）计算f(4)5f(2)g(2)；０

（2）计算f(9)5f(3)g(3)；０

（3）计算f(16)5f(4)g(4)；０

（4）由（1）（2）（3）归纳出涉及函数f(x)和g(x)的对于所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并加以证明。猜想：对任意x0，均有f(x)5f(x)g(x)。

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