阅读与思考 集合中元素的个数教学内容概述

阅读材料

集合中元素的个数

一、教学目标

知识与技能:会求两个有限集合交、并集的元素个数;了解韦恩图在集合中的作用,并会用韦恩图分析集合问题,解决简单的实际问题;了解有限集与无限集元素个数的区别.

过程与方法:经历借助韦恩图利用集合的思想解决实际问题的过程,渗透数学建模的思想。

情感态度与价值观:增强学生学习数学的兴趣。

二、学情分析：在前面的学习中,学生已经了解了集合的含义,理解了集合间包含与相等的含义,两个集合的并集、交集及补集的含义,会用集合语言表达数学对象或数学内容.在处理简单的实际问题时,能根据需要,在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换.但高一学生在处理问题时容易丢三落四、考虑不周,所以在教学过程中应多设置一些小组讨论合作以及组内纠错的活动,通过互相帮助来解决问题,同时也能提高学生解决数学问题的积极性。

三、重难点

重点：实际问题中元素个数的求法

难点：多个集合中利用韦恩图求集合中元素的个数

四、新课讲解

导入：

问题1：学校小卖部进了两次货,第一次进的货是圆珠笔,钢笔,橡皮,笔记本,方便面,汽水共6种,第二次进的货是圆珠笔,铅笔,火腿肠,方便面共4种,两次一共进了几种货物?

学生回答8种。师：为什么是8种，而不是10种呢?生：因为有相同的品种要减去。师：所以我们这个8=6+4-2。在集合中元素的个数用card来表示，然后从集合的观点来看，

把第一次进货的品种看作A集合，则card（A）=6,把第二次进货的品种看作B集合，则card（B）=4，card(A∩B)=2，两次进货的品种即为A∪B，我们可以得到公式

card（A∪B）

= card（A）+ card（B）－card（A∩B）

用韦恩图来证明这个公式。

通过一个简单的实例得出公式，学生参与。(设计意图:由课本例子引入,强调错误计算是将共同的部分多算了一次,为后面用集合解决问题、推导公式,提供思路.) 例题：

例1 学校先举办了一次田径运动会，某班有8 名同学参赛，又举办了一次球类运动会。这个

班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3 人。两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？

分析：设A为田径运动会参赛的学生的集合，B

为球类运动会参赛的学生的集合。那么A∩B就

是两次运动会都参赛的学生的集合。

试分析

A∪B、

A、B、A∩B中元素个数的关系.

解：设A={田径运动会参赛的学生}，

B={球类运动会参赛的学生}，那么，

A∩B={两次运动会都参赛的学生}，

A∪B={参赛的学生}。

∴ card（A∪B）

= card（A）+ card（B）－card

（A∩B）

=8+12－3=17。

答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛。

用图来求解

：

A (5) A?B (3) B (9) （老师主讲）(设计意图:用集合思想、方程思想解决实际问题,加深对结论公式的理解.) 练习：某班学生参加数学课外小组的人数是参加

物理课外小组的人数的2倍，同时参加两个课外

小组的人数是5人，至少参加一个课外活动小组

的人数为25人.试求参加数学小组、物理小组的

人数各是多少？

card（A∪B）

= card（A）+ card（B）－card（A∩B）

即

25=2x+x-5 x=10

参加数学小组20人，参加物理小组10人.

card（A∪B）

= card（A）+ card（B）－card（A∩B）

能否推广？试写出三个集合类似公式. （主要由学生讲，老师点评）（设计意图：让学生通过自己参与讲解的过程，更加理解利用方程思想和韦恩图来求解集合中元素个数的方法）

探求：公式card（A∪B）= card（A）+ card（B）－card（A∩B）能否推广？试写出三个集合类似公式。学生讨论，得出结论，老师根据情况适当补充。（设计意图：培养学生探究新知的能力）

学生也学会了用韦恩图来得到公式：

card(A∪B∪C)=card(A)+ card(A∩B∩C)

card(B)+ card(C)- card(A∩B)- card(A∩C)- card(C∩B)+

例2：某班有36名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13.同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学的有4人，同时参加数学和化学小组的有多少人？

老师用公式法和韦恩图讲解。

练习2. 某校高三学生共249人，毕业考试成绩优秀的

人数及科目如下表; 科目数

科目

人数

语

131 单科

数

117 外

152 语数

61 两科

79 62 三科

53 数外

语外

语数外

表中，两科优秀者包括里包括三科全优者，单科

优秀者里也包括两科以上的优秀者。

有人说上面的统计表有误，你认为呢？

由统计表计算高三年级共有

131+117+152-61-79-62+53=251(人)，所以统计表有误.（学生讨论讲解）

学生主要会采用公式法，简单可行。

思考：设A=｛1，2，3，4，5，6，7，8，...n,...｝B={2,4,6,8,...2n,..},请问如何比较这两个集合中元素个数的多少？

对于无限集来说,传统观念“整体大于部分”就不成立了,这也正表明了无限集本质上不同于有限集合的特性,那就是无限集合可以和它的真子集建立一一对应.

小结：让学生自己回答，培养他们总结知识体系的能力，并且通过自己的总结，对这堂课所学内容再次进行巩固加深。

作业：1、（必做）在100个学生中，有美术爱好者63人，音乐爱好者75人，对美术和音乐都爱好的学生最多有多少人?最少有多少人？

2、

在某外国语培训学校共170 名学生

, 有120 人学英语

,60 人学俄语

,80 人学

日语

, 50人既学英语又学

日语

,25 人既学英语又学

俄语

, 30人既学

日语又学俄语

, 还有10 人同

时学习这三种外国语

, 请问

有多少学生没有

学上述三门外语中的任何一种？

（主要目的是让学生对公式和韦恩图有更深的理解）

3、

（选做）在全国高中数学联赛中第二试只有三

道题

目

, 已知：

（1）

（2）

某校有25 个学生参加联赛,每个学生至少解出一道题目

；

在所有没有解出第一道题

的学生中, 解出第二道题的人数是解出第三道题目人数的

2倍

；

（3）

（4）

只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题目的人数多

1个；

只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题。

问共有多少学生只解出第二题？

（设计意图：必做题让每位学生对于今天所学知识达到训练强化的目的，选做题让部分基础好的学生提升能力）