探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系特级教师教学实录

互为反函数的两个函数图象之间的关系

我们先来看两个函数：指数函数y2x与对数函数ylog2x.我们知道对数来源于指数，即指数与对数两者之间可以进行相互转换。

指数函数y2x，若将之转化为用y来表示x即：xlog2y，将其中y作为自变量，x作为R中与之对应的唯一的值，我们就可以把函数xlog2y（y(0,)）叫做指数函数，记作ylog2x（x(0,)），y2x的反函数，习惯上我们把函数xlog2y（y(0,)）即底数同为2的指数函数与对数函数互为反函数。

根据指数与对数的性质，我们也可以知道所有同底的指数函数与对数函数均互为反函数，即指数函数yax(a0,a1)与对数函数ylogax(a0,a1)互为反函数。

通常我们将原函数记作yf(x)，反函数记作yf1(x)。

因为原函数与反函数本质是将x与y互换，所以我们就可以得到：原函数的定义域就是它的反函数的值域，原函数的值域就是它的反函数的定义域。

现在请你应用所学的数学知识，通过下面几个问题来探究一下互为反函数的两个函数图象之间的关系

，让我们亲自来发现其中的奥秘吧！

问题1 在同一平面直角坐标系（横、纵轴长度单位一致）中，画出指数函数y2x及其反函数ylog2x的图象，你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗？

1问题2 取y2x图象上的几个点，如P(1,),P2(0,1),P3.(1,2).P11,P2,P3关于直线yx的2对称点的坐标是什么？它们在的图象上吗？为什么？

（（问题3 如果点P在函数y2x的图象上，那么P关于直线yx的对称点0x0,y0）0x0,y0）在函数ylog2x的图象上吗？为什么？

问题4 由上述探究过程可以得到什么结论？

问题5上述结论对于指数函数yax(a0,a1)及其反函数ylogax(a0,a1)也成立吗？为什么？

通过上面的问题的探究我们可以知道互为反函数的两个函数，函数yf(x)图象上的点关于yx的对称点一定是在yf1(x)有图象上，并且函数yf(x)图象与反函数yf1(x)的图象关于yx对称. 例1 求下列函数的反函数

（1）yx1(x1)

（2）y2x1

x3解：（1）由yx1解出x(y1)2又写成：y(x1)2



函数yx1(x1)的值域为[0,)

所求的反函数为y(x1)2(x[0,)). 

注意：如果不注明反函数定义域，得出y(x1)2是错误的. （2）由y2x13y1（x3）y2x1x(y2)3y1x，改写成x3y2y3x1即为所求. x2说明：一般地，求分式函数yaxb直接解出xf1(y)，(c0,adbc)的反函数时，cxd再改写成yf1(x)即可.因为使所求出的解析式有意义的x的范围，已知函数的值域. b例2 已知函数yaxb(x)的图象过点(1，2)，它的反函数图象也过此点，求函a数f(x)的解析式. y2b解法一：由yaxb得x

a∴当xb时，y0

ax2bb1(x0)

∴函数yaxb(x)的反函数是f(x)aa又∵点(1，2)既在函数f(x)上，也在函数f1(x)上

2ab∴有1b

解得：a3,b7

2a7∴函数f(x)＝3x7(x)

3

解法二：由互为反函数的两个函数图象间的关系以及点(1，2)关于直线yx的对点为(2，1)，可以得到函数f(x)的图象还过点(2，1) ∴得到2ab12ab

解得：a3,b7

∴函数f(x)＝3x7(x73)

巩固练习：

1．函数yx22x(x0)的反函数的定义域是（

）

A、,0

B、0,1

C、,1

D、[0,)

2．设f(x)2x1(xR,x3),则f14x34(2)的值等于（

）

A、56

B、25

C、25

D、511

3．设a0,a1，函数ylogax的反函数和ylog1x的反函数的图象关于

（

a[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]

(A)x轴对称

(B)y轴对称

(C)yx轴对称

(D)原点对称4．点(a,b)在yf(x)的图象上，则下列的点在其反函数图象上的是

（

）

A.P(a,f1(a))

B.P(f1(b),b)

C.P(f1(a),a)

D.P(b,f1(b))

5．已知函数f(x)(12)x1，则f1(x)的图象只可能是（

）

y

y

y

y

O

1

x

1

O

x

1

2

O

x

2

1

O

x

(A)

(B)

(C)

(D)

6．设f(x)x21(0x1)152x(1x0)，则f()

．

4）

17．若yax6与yxb的图象关于直线yx对称，且点(b,a)在指数函数f(x)的图象3上，则f(x)

．

8．给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y的图象关于直线y=x成轴对称图形．

参考答案：

1．A，2．A，3．B，4．

D，5．C，

6．x11xR,且x．试证明：这个函数ax1a1．

7．f(x)(3)x．

28．证明：先求所给函数的反函数:由

yx11(xR,x),

ax1a得

y(ax－1)=x－1，

即

(ay－1)x=y－1．

假如ay10,则y即

ax－a=ax－1，

11x1,代入所给函数的解析式,得

aaax1由此得a=1，与已知矛盾，所以ay－1≠0．

因此得到

y11,其中y,ay1ax11这表明函数y(xR,且x)的反函数是

ax1ax11y,(xR,且x).ax1ax由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f－1(x)的图象关于直线y=x对称，所以函数

y

x11(xR,且x)的图象关于直线y=x成轴对称图形.

ax1a