小结多媒体教学设计及其点评

函数的单调性与最值

导学目标：

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．

自主梳理

1．单调性

(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2))，那么就说f(x)在区间D上是______________．

fx1－fx2(2)单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0⇔>0x1－x2fx1－fx2⇔f(x)在[a，b]上是________；(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是x1－x2________．

(3)单调区间：如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的__________．

a(4)函数y＝x＋(a>0)在

(－∞，－a)，(a，＋∞)上是单调________；在(－a，0)，xa(0，a)上是单调______________；函数y＝x＋(a<0)在______________上单调递增．

x2．最值

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的____________．

自我检测

b1．(2011·杭州模拟)若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在x(0，＋∞)上是

(

) A．增函数

B．减函数

C．先增后减

D．先减后增

2．设f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a为实数，则有

(

) A．f(a)

B．f(a2)

D．f(a2＋1)>f(a) 3．下列函数在(0,1)上是增函数的是

(

) A．y＝1－2x

B．y＝x－1 2C．y＝－x＋2x

D．y＝5 4．(2011·合肥月考)设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1

(

) A．f(x1)

B．f(x1)>f(x2) C．f(x1)＝f(x2)

D．不能确定

25．当x∈[0,5]时，函数f(x)＝3x－4x＋c的值域为

(

) 4A．[c,55＋c]

B．[－＋c，c] 34C．[－＋c,55＋c]

D．[c,20＋c] 3

探究点一

函数单调性的判定及证明

x＋a例1

设函数f(x)＝(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单x＋b调性．

变式迁移1

已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)＝1，设F(x)1＝f(x)＋，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论．

fx

探究点二

函数的单调性与最值

x2＋2x＋a例2

(2011·烟台模拟)已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

x1(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；

2(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．

aa变式迁移2

已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．

x2

探究点三

抽象函数的单调性

例3

(2011·厦门模拟)已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当2x>0时，f(x)<0，f(1)＝－. 3(1)求证：f(x)在R上是减函数；

(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

x1变式迁移3

已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x>1x2时，f(x)<0. (1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的单调性；

(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.

分类讨论及数形结合思想

例

(12分)求f(x)＝x－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．

【答题模板】

解

f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a. (1)

当a<0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.[3分] 2

(2)当0≤a<1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a，f(x)max＝f(2)＝3－4a.[6分] (3)当1

(4)当a>2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1. 综上，(1)当a<0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；

(2)当0≤a<1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；

(3)当1

(4)当a>2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.[12分] 【突破思维障碍】

(1)二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的．故只需确定对称轴与区间的关系．由于对称轴是x＝a，而a的取值不定，从而导致了分类讨论．

(2)不是应该分a<0,0≤a≤2，a>2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0)，也有可能是f(2)．

1．函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：

(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)单调性的运算性质．

2．若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

(1)f(x)与f(x)＋C具有相同的单调性．

(2)f(x)与af(x)，当a>0时，具有相同的单调性，当a<0时，具有相反的单调性．

1(3)当f(x)恒不等于零时，f(x)与具有相反的单调性．

fx(4)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)＋g(x)是增(减)函数．

(5)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)·g(x)当两者都恒大于零时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数．