习题2.2ppt配套教案和课堂实录

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七、弹簧类

有关弹簧的题目在高考中几乎年年出现，由于弹簧弹力是变力，学生往往对弹力大小和方向的变化过程缺乏清晰的认识，不能建立与之相关的物理模型并进行分类，导致解题思路不清、效率低下、错误率较高.在具体实际问题中，由于弹簧特性使得与其相连物体所组成系统的运动状态具有很强的综合性和隐蔽性，加之弹簧在伸缩过程中涉及力和加速度、功和能、冲量和动量等多个物理概念和规律，所以弹簧试题也就成为高考中的重、难、热点，

一、“轻弹簧”类问题

在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为“轻弹簧”，是一种常见的理想化物理模型.由于“轻弹簧”质量不计，选取任意小段弹簧，其两端所受张力一定平衡，否则，这小段弹簧的加速度会无限大.故轻弹簧中各部分间的张力处处相等，均等于弹簧两端的受力.弹簧一端受力为F，另一端受力一定也为F,若是弹簧秤，则弹簧秤示数为F. 【例1】如图3-7-1所示，一个弹簧秤放在光滑的水平面上，外壳质量m不能忽略，弹簧及挂钩质量不计，施加水平方向的力F1、F2，且F1F2，则弹簧秤沿水平图

3-7-1 方向的加速度为 ，弹簧秤的读数为 . 【解析】

以整个弹簧秤为研究对象，利用牛顿运动定律得：

F1F2ma，即aF1F2

m需要一段时间，其长度变化不能在瞬间完成，因此弹簧的弹力不能在瞬间发生突变. 即可以认为弹力大小和方向不变，与弹簧相比较，轻绳和轻杆的弹力可以突变. 【例3】如图3-7-3所示，木块A与B用轻弹簧相连，竖直放在木块C上，三者静置于地面，A、B、C的质量之比是1:2:3.设所有接触面都光滑，当沿水平方向迅速抽出木块C的图

3-7-3 瞬时，木块A和B的加速度分别是aA= 与aB= 【解析】由题意可设A、B、C的质量分别为m、2m、3m，以木块A为研究对象，抽出木块C前，木块A受到重力和弹力一对平衡力，抽出木块C的瞬时，木块A受到重力和弹力的大小和方向均不变，故木块A的瞬时加速度为0.以木块A、B为研究对象，由平衡条件可知，木块C对木块B的作用力FCB3mg. 以木块B为研究对象，木块B受到重力、弹力和FCB三力平衡，抽出木块C的瞬时，木块B受到重力和弹力的大小和方向均不变，FCB瞬时变为0，故木块C的瞬时合外力为3mg,竖直向下，瞬时加速度为1.5g. 【答案】0 说明：区别于不可伸长的轻质绳中张力瞬间可以突变.

【例4】如图3-7-4所示，质量为m的小球用水平弹簧连接，并用倾角为30的光滑木板AB托住，使小球恰好处于静止状态.当AB突然向下撤离的瞬间，小球的加速度为 ( ) A.0 B.大小为0仅以轻质弹簧为研究对象，则弹簧两端的受力都F1，所以弹簧秤的读数为F1. 说明:F2作用在弹簧秤外壳上，并没有作用在弹簧左端，弹簧左端的受力是由外壳内侧提供的. FF【答案】a12 F1

m图

3-7-4 二、质量不可忽略的弹簧

【例2】如图3-7-2所示，一质量为M、长为L的均质弹簧平放在光滑的水平面,在弹簧右端施加一水平力F使弹簧向右做加速运动.试分析弹簧上各部分的受力情图

3-7-2 况. 【解析】

弹簧在水平力作用下向右加速运动，据牛顿第二定律得其加速度aF,取弹簧左部任意长度M23g，方向竖直向下

323C.大小为g，方向垂直于木板向下

323D. 大小为g, 方向水平向右

3【解析】

末撤离木板前，小球受重力G、弹簧拉力F、木板支持力FN作用而平衡，如图3-7-5mg. cos 撤离木板的瞬间，重力G和弹力F保持不变(弹簧弹力不能突变)，而木板支持力FN立即消x为研究对象，设其质量为m得弹簧上的弹力为：

TxmaxFxMF

LML所示，有FNx【答案】TxF

L三、弹簧的弹力不能突变(弹簧弹力瞬时)问题

弹簧(尤其是软质弹簧)弹力与弹簧的形变量有关，由于弹簧两端一般与物体连接，因弹簧形变过程图

3-7-5 失,小球所受G和F的合力大小等于撤之前的FN

(三力平衡)，方向与FN相反，故加速度方向为垂直

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木板向下，大小为aFNg23g mcos3【答案】 C. 四、弹簧长度的变化问题

设劲度系数为k的弹簧受到的压力为F1时压缩量为x1，弹簧受到的拉力为F2时伸长量为x2，此时的“-”号表示弹簧被压缩.若弹簧受力由压力F1变为拉力F2，弹簧长度将由压缩量x1变为伸长量x2，长度增加量为x1x2.由胡克定律有: F1k(x1),F2kx2. 则:F2(F1)kx2(kx1),即Fkx

说明:弹簧受力的变化与弹簧长度的变化也同样遵循胡克定律，此时x表示的物理意义是弹簧长度的改变量，并不是形变量. 【例5】如图3-7-6所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块1、2拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上(不拴接)，整个系统处于平衡状态.现将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面.在此过程中，物块2的重力势能增加了 ,物块1的重力势能增图

3-7-6 加了 . 【解析】由题意可知，弹簧k2长度的增加量就是物块2的高度增加量，弹簧k2长度的增加量与弹簧k1长度的增加量之和就是物块1的高度增加量. 由物体的受力平衡可知，弹簧k2的弹力将由原来的压力(m1m2)g变为0,弹簧k1的弹力将由原来的压力m1g变为拉力m2g,弹力的改变量也为(m1m2)g .所以k1、k2弹簧的伸长量分别为:11(m1m2)g和(m1m2)g

k1k21m2(m1m2)g2，物块1k2于静止状态,现开始用一恒力F沿斜面方向拉A使之向上运动，求B刚要离开C时A的加速度a和从开始到此时A的位移d(重力加速度为g). 【解析】

系统静止时,设弹簧压缩量为x1，弹簧弹力为F1，分析A受力可知:F1kx1mAgsin

mgsin解得:x1A

k在恒力F作用下物体A向上加速运动时，弹簧由压缩逐渐变为伸长状态.设物体B刚要离开挡板C时弹簧的伸长量为x2，分析物体B的受力mgsin有:kx2mBgsin,解得x2B

k设此时物体A的加速度为a，由牛顿第二定律有:FmAgsinkx2mAa

F(mAmB)gsin

解得:a

mA故物块2的重力势能增加了的重力势能增加了(【答案】11)m1(m1m2)g2

k1k2111m2(m1m2)g2 ()m1(m1m2)g2

k2k1k2五、弹簧形变量可以代表物体的位移

弹簧弹力满足胡克定律Fkx，其中x为弹簧的形变量，两端与物体相连时x亦即物体的位移，因此弹簧可以与运动学知识结合起来编成习题. 【例6】如图3-7-7所示，在倾角为的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B，其质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k,C为一固定挡板，系统处图

3-7-7 因物体A与弹簧连在一起，弹簧长度的改变量代表物体A的位移，故有dx1x2，即(mmB)gsin

dAk(mmB)gsin【答案】dA

k六、弹力变化的运动过程分析

弹簧的弹力是一种由形变决定大小和方向的力，注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置及临界位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，弹性势能也是与原长位置对应的形变量相关.以此来分析计算物体运动状态的可能变化. 结合弹簧振子的简谐运动，分析涉及弹簧物体的变加速度运动，往往能达到事半功倍的效果.此时要先确定物体运动的平衡位置，区别物体的原长位置，进一步确定物体运动为简谐运动.结合与平衡位置对应的回复力、加速度、速度的变化规律，很容易分析物体的运动过程. 【例7】如图3-7-8所示，质量为m的物体A用一轻弹簧与下方地面上质量也为m的物体B相连，开始时A和B均处于静止状态，此时弹簧压缩量为x0，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连接物体A、另一端C握在手中，各段绳均刚好处于伸直状图

3-7-8 态，物体A上方的一段绳子沿竖直方向且足够长.现在C端施加水平恒力F使物体A从静止开始向上运动.(整个过程弹簧始终处在弹性限度以内). (1)如果在C端所施加的恒力大小为3mg，则在物体B刚要离开地面时物体A的速度为多大? (2)若将物体B的质量增加到2m，为了保证运动中物

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体B始终不离开地面，则F最大不超过多少? mg，

kmg物体B刚要离开地面时弹簧的伸长量也是x0. k(1)若F3mg,在弹簧伸长到x0时，物体B离开地【解析】

由题意可知，弹簧开始的压缩量x0面，此时弹簧弹性势能与施力前相等，F所做的功等于物体A增加的动能及重力势能的和. 1即：F2xmg2x0mv2得: v22gx0

2(2)所施加的力为恒力F0时，物体B不离开地面，类比竖直弹簧振子，物体A在竖直方向上除了受变化的弹力外，再受到恒定的重力和拉力.故物体A做简谐运动. 在最低点有：F0mgkx0ma1,式中k为弹簧劲度系数，a1为在最低点物体A的加速度. 在最高点，物体B恰好不离开地面，此时弹簧被拉伸，伸长量为2x0，则: k(2x0)mgF0ma2

而kx0mg，简谐运动在上、下振幅处a1a2，解得：

3mg

2也可以利用简谐运动的平衡位置求恒定拉力F0.物程中F对木块做的功. 【解析】

此题难点在于能否确定两物体分离的临界点.当F0(即不加竖直向上F力)时，设木块A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x,有: (mmB)gkx(mAmB)g,即xA ①

k对木块A施加力F，A、B受力如图3-7-10所示,对木块A有: FNmAgmAa ②

对木块B有: kx'NmBgmBa ③

可知，当N0时，木块A、B加速度相同，由②式知欲使木块A匀加速运动，随N减小F增大,当N0时, F取得了最大值Fm,即: FmmA(ag)4.41N 又当N0时，A、B开始分离，由③式知，弹簧压缩量m(ag)kx'mB(ag)，则x'B④

k图

3-7-10 木块A、B的共同速度：v2a(xx') ⑤

2

F0由题知，此过程弹性势能减少了WPEP0.248J

设F力所做的功为WF，对这一过程应用功能原理，1得：

WF(mAmB)v2(mAmB)g(xx')EP

2联立①④⑤⑥式，且EP0.248J,得：

WF9.64102J

体A做简谐运动的最低点压缩量为x0，最高点伸长量为2x0，则上下运动中点为平衡位置，即伸长量为x3mg所在处.由mgk0F0,解得: F0. 223mg【答案】22gx0

2说明: 区别原长位置与平衡位置.和原长位置对应的形变量与弹力大小、方向、弹性势能相关,和平衡位置对应的位移量与回复大小、方向、速度、加速度相关. 七．与弹簧相关的临界问题

通过弹簧相联系的物体，在运动过程中经常涉及临界极值问题：如物体速度达到最大；弹簧形变量达到最大时两个物体速度相同；使物体恰好要离开地面；相互接触的物体恰好要脱离等.此类问题的解题关键是利用好临界条件，得到解题有用的物理量和结论. 【例8】如图3-7-9所示，A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，已知木块A、B的质量分别为0.42kg和0.40kg，弹簧的劲度系数k100N/m，若在A上作用一个竖直向上的力F,使A由静止开始以0.5m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动图

3-7-9 （g10m/s2）求： (1) 使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值; (2)若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248J，求这一过【答案】（1）Fm4.41N

WF9.64102J

【例9】如图3-7-11所示，一质量为M的塑料球形容器，在A处与水平面接触.它的内部有一直立的轻弹簧，弹簧下端固定于容器内部底部，上端系一带正电、质量为m的小球在竖直方向振动，当加一向上的匀强电场后，弹簧正好在原长时，小球恰好有最大速度.在振动过程中球形容器对桌面的最小压力为0，求小球振动图

3-7-11 的最大加速度和容器对桌面的最大压力.

【解析】

因为弹簧正好在原长时小球恰好速度最大，所以有：qEmg

①

小球在最高点时容器对桌面的压力最小，有：kxMg ②

此时小球受力如图3-7-12所示，所受合力为FmgkxqE ③

由以上三式得小球的加速度aMg. m显然，在最低点容器对桌面的压力最大，由振动的对称性可知小球在最低点和最高点有相同的加速度，

解以上式子得：kxMg

图

3-7-12 所以容器对桌面的压力为：FNMgkx2Mg.

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【答案】Mg

2Mg

m八、弹力做功与弹性势能的变化问题

弹簧伸长或压缩时会储存一定的弹性势能，因此弹簧的弹性势能可以与机械能守恒规律综合应用,我1们用公式EPkx2计算弹簧势能，弹簧在相等形变2量时所具有的弹性势能相等一般是考试热点. 弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量.弹簧的弹力做功是变力做功，一般可以用以下四种方法求解: (1)因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算; (2)利用Fx图线所包围的面积大小求解; (3)用微元法计算每一小段位移做功，再累加求和; (4)根据动能定理、能量转化和守恒定律求解. 由于弹性势能仅与弹性形变量有关，弹性势能的公式高考中不作定量要求，因此，在求弹力做功或弹性势能的改变时，一般从能量的转化与守恒的角度来求解.特别是涉及两个物理过程中的弹簧形变量相等

时，往往弹性势能的改变可以抵消或替代求解. 【例10】如图3-7-13所示，挡板P固定在足够高的水平桌面上，物块A和B大小可忽略，它们分别带有QA和QB的电荷量，质量分别为mA和mB.两物块由绝缘的轻弹簧相连，一个不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与B连接，另一端连接图

3-7-13 轻质小钩.整个装置处于场强为E、方向水平向左的匀强电场中，A、B开始时静止，已知弹簧的劲度系数为k,不计一切摩擦及A、B间的库仑力, A、B所带电荷量保持不变，B不会碰到滑轮. (1)若在小钩上挂质量为M的物块C并由静止释放，可使物块A对挡板P的压力恰为零，但不会离开P,求物块C下降的最大距离h. (2)若C的质量为2M,则当A刚离开挡板P时, B的速度多大? 【解析】

通过物理过程的分析可知，当物块A刚离开挡板P时，弹力恰好与A所受电场力平衡，弹簧伸长量一定，前后两次改变物块C质量，在第(2)问对应的物理过程中，弹簧长度的变化及弹性势能的改变相同，可以替代求解. 设开始时弹簧压缩量为x1，由平衡条件kx1QBE,QE可得x1B ①

k设当A刚离开挡板时弹簧的伸长量为x2,由QEkx2QAE，可得: x2A ②

k故C下降的最大距离为: hx1x2 ③

由①②③三式可得: hE(QAQB) ④

k(2)由能量守恒定律可知，物块C下落过程中，C重力势能的减少量等于物块B电势能的增量和弹簧弹性势能的增量以及系统动能的增量之和. 当C的质量为M时，有：MgHQBEhE弹 ⑤

当C的质量为2M时，设A刚离开挡板时B的速度为1v，则有：2MgHQBEhE弹(2MmB)v2

⑥

2由④⑤⑥三式可得A刚离开P时B的速度为:

v2MgE(QAQB) ⑦

k(2MmB)2MgE(QAQB)E

(QAQB)（2）vk(2MmB)k【答案】（1）h【例11】如图3-7-14所示，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k,物体A、B都处于静止状态.一不可伸长的轻绳一端绕过轻滑轮连接物体A，另一端连接一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态，物体A上方的一段绳沿竖直方向.现给挂钩挂图

3-7-14 一质量为m2的物体C并从静止释放，已知它恰好能使物体B离开地面但不继续上升.若将物体C换成另一质量为(m1m2)的物体D，仍从上述初始位置由静止释放，则这次物体B刚离地时物体D的速度大小是多少?已知重力加速度为g

【解析】

开始时物体A、B静止，设弹簧压缩量为x1，则有：kx1m1g

悬挂物体C并释放后，物体C向下、物体A向上运动，设物体B刚要离地时弹簧伸长量为x2，有kx2m2g

B不再上升表明此时物体A、C的速度均为零，物体C己下降到其最低点,与初状态相比，由机械能守恒得弹簧弹性势能的增加量为：

Em2g(x1x2)m1g(x1x2)

物体C换成物体D后，物体B离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得：

11(m2m1)v2m1v2(m2m1)g(x1x2)m1g(x1x2)E222m1(m1m2)g2联立上式解得题中所求速度为：v

(2m1m2)k【答案】v2m1(m1m2)g(2m1m2)k2

说明：

研究对象的选择、物理过程的分析、临界条件的应用、能量转化守恒的结合往往在一些题目中需要综合使用. 九、弹簧弹力的双向性

弹簧可以伸长也可以被压缩，因此弹簧的弹力具

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有双向性，亦即弹力既可能是推力又可能是拉力，这类问题往往是一题多解. 【例12】如图3-7-15所示，质量为m的质点与三根相同的轻弹簧相连，静止时相邻两弹簧间的夹角均为1200，已知弹簧a、b对质点的作用力均为F，则弹簧c对质点作用力的大小可能为 ( ) 图

3-7-15 A、0 B、Fmg C、Fmg D、mgF

【解析】 由于两弹簧间的夹角均为120，弹簧a、b对质点作用力的合力仍为F，弹簧a、b对质点有可能是拉力，也有可能是推力,因F与mg的大小关系不确定，故上述四个选项均有可能.正确答案:ABCD 【答案】 ABCD 十、弹簧振子

弹簧振子的位移、速度、加速度、动能和弹性势能之间存在着特殊关系，弹簧振子类问题通常就是考查这些关系，各物理量的周期性变化也是考查的重点. 【例13】如图3-7-16所示，一轻弹簧与一物体组成弹簧振子，物体在同一竖直线上的A、B间做简谐运动，

O点为平衡位置;C为AO的中点，已知OCh，弹簧振子周期为T,某时刻弹簧振子恰好经过C点并向上运动,则从此时刻开始计时，下列说法中正确图

3-7-16 的是 ( ) T时刻，振子回到C点

4TB、t时间内，振子运动的路程为4h

23TC、t时刻，振子的振动位移为0

83TD、t时刻，振子的振动速度方向向下

80【例14】

如图3-7-17所示，两个劲度系数分别为k1、k2的轻弹簧竖直悬挂，下端用光滑细绳连接，并有一光滑的轻滑轮放在细线上;滑轮下端挂一重为G的物体后滑轮下降，求滑轮静止后重物下降的距离. 【解析】

两弹簧从形式上看似乎是并联，但因每根弹簧的弹力相等，故两弹簧实为串联;两弹簧的弹力均GGGx2，可得两弹簧的伸长量分别为x1，，2k222k1xG(k1k2) 24k1k2G(k1k2)

4k1k2两弹簧伸长量之和xx1x2，故重物下降的高度为:h【答案】A、t【解析】

振子在点A、C间的平均速度小于在点C、O间的平均速度，时间大于T，选项A、C错误;8十二、通电的弹簧

【例15】如图3-7-18所示装置中，将金属弹簧的上端固定，下端恰好浸图

3-7-18 入水银，水银与电源负极相连，弹簧上端通过开关S与电源正极相连.当接通开关S后，弹簧的运动情况如何? 【解析】

通电弹簧相邻两匝线圈相互平行且电流同向，两匝线圈相互吸引，从而使弹簧收缩;弹簧收缩后下端离开水银，切断了电流吸引力消失，弹簧又向下恢复原长，与水银面接触而接通电路，然后又在吸引力作用下收缩.如此反复，弹簧就不断地上下振动. 十三、物体沿弹簧螺旋运动

【例16】如图3-7-19所示，长度为L的光滑钢丝绕成高度为H的弹簧，将弹簧竖直放置.一中间有孔的小球穿过钢丝并从弹簧的最高点A由静止释放，求经多长时间小球沿弹簧滑到最低点B. 图

3-7-19 【解析】

小球沿光滑弹簧下滑时机械能守恒，可以假想在不改变弹簧上各处倾角的条件下将弹簧拉成一条倾斜直线，如图3-7-20所示，小球沿此直线下滑的时间与题中要求的时间相等.小球沿直线下滑的加速度为图

3-7-20 agsin

由几何知识可得：sinH;由位移公式可知：LT振子运动O点以下与点C对称的位置，总路程23T为4h，选项B正确;经t振子在点O、B间向下8经运动，选项D正确. 【答案】 B D 十一、弹簧串、并联组合

弹簧串联或并联后劲度系数会发生变化，弹簧组合的劲度系数可以用公式计算，高中物理不要求用公式定量分析，但弹簧串并联的特点要掌握:弹簧串联时，每根弹簧的弹力相等;原长相同的弹簧并联时，每根弹簧的形变量相等. 21

Lat2，联立上式解得：tLgH2【答案】L2

gH

十四、生产和生活中的弹簧

弹簧在生产和生活中有着广泛的应用，近几年高考中也出现了不少有关弹簧应用方面的试题. 【例17】如图3-7-21所示表示某同学在科技活动中自制的电子秤原理，利用电压表示数来指示物体质量，托盘与电阻可忽略的弹簧相连，托盘与弹簧的

----110--- 图

3-7-17

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质量均不计，滑动变阻器的滑动头与弹簧上端连接;当托盘中没放物体且S闭合时，电压表示数为零.设变阻器的总电阻为R、总长度为L，电源电动势为E、内阻为r，限流电阻阻值为R0，弹簧劲度系数为k，不计一切摩擦和其他阻力. (1)推导出电压表示数Ux与所称物体质量m的关系式. (2)由(1)结果可知，电压表示数与待测物体质量不成正比、不便于进行刻度.为使电压表示数与待测图

3-7-21 物体质量成正比，请利用原有器材进行改进并完成电路原理图，推导出电压表示数Ux与待测物体质量m的关系式. 【解析】(1)设变阻器上端至滑动头的长度为x,据题RxxE

意得:mgkx，RxR,UxRxR0rL解得:UxmgRE

mgRkL(R0r) (2)改进后的电路如图3-7-22所示，则有：mgkx, xR,解得：

LmgREUx

kL(RR0r)Rx图

3-7-22 【答案】（1）Ux（2）UxmgRE

mgRkL(R0r)mgRE

kL(RR0r)

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