习题1.2教学设计实例

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2、函数的习题讲解一

一、基础知识梳理

1.函数的奇偶性

函数的奇偶性从两个方面去理解：①定义；②图像

奇偶性

定

义

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数

图象特点

偶函数

关于y轴对称

奇函数

关于原点对称

问题：如果函数f(x)的定义域为实数，则f(x)的图像有什么特点？

2.周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)称为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．

二、目标

1.掌握函数奇偶性的运用

2.理解函数周期性

三、题型解析

题型一：判断函数的单调性

例题1：设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(

)

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A．f(x)g(x)是偶函数

B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数

D．|f(x)g(x)|是奇函数

例题2：函数f(x)loga(x2),g(x)loga(2x)(a0,且a1)则函数F(x)f(x)g(x),G(x)f(x)g(x)

的奇偶性是

A．F(x)是奇函数，G(x)是奇函数

C．F(x)是偶函数，G(x)是偶函数

B．F(x)是偶函数，G(x)是奇函数

D．F(x)是奇函数，G(x)是偶函数

题型二：函数周期性及其运用

例题3：设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…

＋f(2 017)＝________. 【解析】因为f(x＋2)＝f(x)，所以T2，f(0)f(1)f(2)f(3)...f(2016)f(2017)1009

[迁移探究1]

若将本例中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝－f(x)”，则结论如何？

[迁移探究2]

若将本例中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝21”，则结论如何？

f(x)

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总结：求函数周期的方法

变式训练1 （1）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于(

) A．－1

B．1

C．－2

D．2 （2）设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(52)等于

(

) A．－12

B．－1

C.144

D.12

（3）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)＝1，－1＜x≤0，－1，0＜x≤1，

则下列函数值为1的是(A．f(2.5)

B．f(f(2.5))

C．f(f(1.5))

D．f(2)

题型三：函数的综合运用

例题1：已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)

) A.(13,23)

B.[13,23)

C.(12,23)

D.[12,23)

例题2：已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(

) A．f(－25)

B．f(80)

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)

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C．f(11)

D．f(－25)

2.因为奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)=f(x)，所以f(x)关于x2对称，画出f(x)大概图像得

由图可知，周期为8，所以f(80)f(2),f(11)f(3),f(25)f(1)，所以f(－25)

变式训练2（1）已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(

A．4

B．3

C．2

D．1 （2）(2015·课标全国Ⅰ)若函数f(x)xln(xax2)为偶函数，则a＝________. （3）已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝2a－3a＋1，则实数a的取值范围为

A．(－1,4)

B．(－2,0)

C．(－1,0)

D．(－1,2)

变式训练1

【解析】1.A；2.A；3.D 变式训练2 （3）∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，

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)

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2a－32a－3a－4∵f(1)<1，f(5)＝，∴<1，即<0，解得－1

A组

1．

(2013·广东)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是 (

) A．4

B．3

C．2

D．1 (

) 2．

设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于 A．－3

B．－1

C．1

－D．3 3. 已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－ax＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于

A．2

15B.

4

17C.

4

D．a2 1114.

已知f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f(x)f(x)

222则f(6)＝(

) A．－2

B．－1

C．0

D．2 5. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)＝(

) A．－2

B．2

C．－98

D．98 6. 对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶

函数．下列函数中是准偶函数的是(

) A．f(x)＝x

B．f(x)＝x2

C．f(x)＝tan x

D．f(x)＝cos(x＋1) 7. 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1,2a]的偶函数，则a＋b的值是(

) A．0

1B.

3

C．1

D．－1 8.

若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(

) x－xA．e－e

ex＋exB.

2－

ex－exC.

2－

ex－exD.

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9. (2011年辽宁)若函数f(x)x为奇函数，则a＝(

) (2x1)(xa)

3C.

4

D．1 1A.

2

2B.

310. 已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2 018)的值为(

) A．2

B．0

C．－2

D．±2 11.

函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)f(x)＝1，若f(1)＝－5，则f(－5)＝________. 12.

若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________. 13.

函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.

14.

已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝x2，若对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，

则f(2)－f(3)的值为________．

15.

已知函数y＝f(x)是定义在R上的任意不恒为零的函数，则下列判断：①f(|x|)为偶函数；②f(x)＋f(－x)为

非奇非偶函数；③f(x)－f(－x)为奇函数；④[f(x)]2为偶函数．其中正确判断的个数有(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

16.

设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1] 上的图像，则f(2 011)＋f(2 012)＝(

) A．3

C．1

B．2 D．0 17.

设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x3)1，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)＝(

) f(x)1C．－10

D．－

10A．10

B.1

1018.

若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.

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19.

设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，

则使函数值y＜0的x的取值集合为________．

20.

设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值；

(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；

(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．

B组

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1.

下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是(

) 2x－2xC．y＝

2－A．y＝log2|x|

B．y＝cos2x

2－xD．y＝log2

2＋x2.

已知函数f(x)＝ln(1＋9x2－3x)＋1，则f(lg2)＋f(lg)等于(

) A.－1

B．0

C．1

D．212A．[来源:] 3.

已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2019)等于(

) A．－2

B．2

C．－98

D．98 4.

定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f(x2)f(x1)0，则(

) x2x1

D．f(3)

B．f(1)

5.

已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(

) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－1,2)

C．(－2,1)

D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

6.

函数f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 7.

已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是___________．

8.

设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，

135则f()f(1)f()f(2)f()＝________.222[来源:Zxxk.Com] 9.

已知f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)>0，那么实数m的取值

范围是(

) A.5(1,)

3

5B.(,)

3

C．(1,3)

5D.(,)310.

设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)

求证：f(x)是周期函数；

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(2)

当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；

(3)

计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)．

ax＋1，－1≤x<0，11.

设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝bx＋2其中a，b∈R. ，0≤x≤1，x＋1

若f()f()，则a＋3b的值为________．

12.

已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6] 上与x轴的交点个数为________．

13.

定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的结论：

①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；

④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确结论的序号是________．

14.

函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

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1232

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课后练习参考答案

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A组

1.答案

C 3.答案

B 解析

因为f(x)＋g(x)＝ax－ax＋2①，所以f(x)g(x)f(x)g(x)axax2②

－

2.答案

A ①+②得g(x)44，因为g(2)＝a，所以g(2)a2，解得a2

22①-②得f(x)axax,所以f(x)2x2x,f(2)15

44.答案D 111解析

当x>时，f(x)f(x)，即x1时，f(x)f(x1)，由周期性可得f(6)f(1)；

222当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)f(1);当x<0时，f(x)＝x3－1，所以f(1)2，故f(6)＝2. 5.答案

A 6.答案

D 解析

依题意代入即可. 7.答案

B 9.答案

A 解析

因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)，代入解得a

8.D 1

210.答案

A 解析

由g(x)＝f(x－1)得，g(x+1)＝f(x)，又f(—x)=f(x)，g(—x)=—g(x)，所以f(x)f(x)g(x1)

g(x1)f(x2)f(2x)g(3x)g(3x)f(x4)，即f(x)f(x4)

)f(45042)f(2)2

所以f(x)是以4为周期的函数，f(2018注：审题可知f(x)一定是周期函数，不妨用特殊值法. g(5)f(4)f(4)g(3)g(3)f(2)f(2)g(1)g(1)f(0),即f(4)f(0)

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所以周期为4，,f(2018)f(45042)f(2)2

11.答案

1

5解析

因为f(x＋2)f(x)＝1，即f(x)11,所以f(x2)f(x2)，所以周期为4，

f(x2)f(x)f(5)f(1)11

f(1)512.答案

0 解析

f(1)f(1)即1|1a|1|1a|，解得a＝0 13.答案

x1

解析

当x＜0时，x0，f(x)x1,又f(x)为奇函数，所以f(x)x1

14.答案

1 解析

f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝x2

所以当x(2,0]时，f(x)＝—x2

；

，，由题易知

f(x)周期为4，所以f(2)－f(3)=f(—2)－f(—1)，即—f(2)+f(1)，f(2)=f(—2)=—f(2)，所以f(2)=0. 所以f(2)－f(3)=f(1)=1 15.答案

①③

解析

由定义知①③正确.

16.答案

1 解析

因为f(x)周期为3，所以f(2 011)＋f(2 012)=f(1)＋f(2)=f(—2)＋f(—1)=—1+2=1 17.答案

B 11解析

因为f(x3)1,所以f(x6)

f(x)，所以周期为6，f(107.5)f(5.5)f(2.5)f(x)f(x3)

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又f(x)为偶函数，所以f(107.5)111

f(2.5)f(2.5)1018.答案

—1 19.答案

（—2,0）∪（2,5）

20.解：因为f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f(x)f(x)，

又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x2)f(x)f(x2)，所以周期为4 （1）f(π)f(π4)f(4π)π4

（2）画出当－4≤x≤4时f(x)的图象，如下图，易知围成的面积S41214

2

（3）当4k1x4k1,kZ时，f(x)单调递增；当4k1x4k3,kZ时，f(x)单调递减.

B组

1.答案

A 解析

对于A，函数y＝log2|x|是偶函数且在区间(1,2)上是增函数；对于B，函数y＝cos2x在区间(1,2)上不是

2x－2x2－x增函数；对于C，函数y＝不是偶函数；对于D，函数y＝log2不是偶函数，故选A. 22＋x－2.答案

D

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3.答案

A 解析

∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．

又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2019)＝－2. 4.答案

A 解析

由题意知f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)，又x∈[0，＋∞)时，f(x)为减函数，且3>2>1，

∴f(3)

C

6.解析

∵f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，∴当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x＋1＝－f(x)，

即x<0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1. 7.答案

(－∞，1]∪[3，＋∞)

解析

由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．

8.答案

2 解析

依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，∴f(1)f(1)f(3)f(2)f(5)

2221111111f()f(1)f()f(0)f()f()f(1)f()f(0)f()f()f(1)f(0)22222222

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9.解(1)证明

∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．

（2）解

∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．

(3)解

∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2012)＋f(2013)＋f(2014)＋f(2015)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)＝f(2016)＝f(0)＝0.

10.

答案

A 解析

因为f(x)是定义域为(1,1)的奇函数，所以1x,f(x)f(x)，所以f(m2)f(2m3)0

[来源:] 1m215可转化为f(m2)f(2m3),所以f(x)为减函数，所以m22m3，所以12m31，所以1m

3m22m311.答案

－10[来源:Z,xx,k.Com] 解析

因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f()f()，且f(－1)＝f(1)，故f()f()

1b＋22b＋21从而＝－a＋1，即3a＋2b＝－2.①由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，即b＝－2a.②

122＋12由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10. 12.答案

7 解析

因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7. 13.答案

①②⑤

32121212

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14.解

(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. 1（2）f(x)为偶函数．证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x 2有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(x)f(x),所以f(x)为偶函数

（3）依题意设有f(44)f(4)f(4)2，由（2）知，f(x)为偶函数

所以f(x1)2f(|x1|)f(16)，又因为f(x)在(0,)上是增函数

所以0|x1|16，解得15x17,且x1，所以x的取值范围为{x|15x17且x1}

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