习题3.1教案和学案内容

§3.1.1（1）

方程的根与函数的零点

一、教材分析

（一）.内容分析

《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，是一节概念课． （二）．地位分析

函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起．

本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．

因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．

二、学情分析

高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图像已经有了一个比较系统的认识与理解．特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位．

三.教学目标分析

1．知识与技能

（1）通过课前练习使学生回顾一元二次方程的解法及有解的条件。

（2）通过探究让学生理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的关系.

（3）由方程的根与函数的零点的探究，培养转化化归思想和数形结合思想.

2．过程与方法

由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与x轴的交点情况分析，导入零点的概念，引入方程的根与函数零点的关系，从而培养学生的转化化归思想和探究问题的能力.

3．情感、态度与价值观

在体验零点概念形成过程中，体会事物间相互转化的辨证思想，享受数学问题研究的乐趣.

四、教学重点与难点分析

重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法.

难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用.

五、教学方法分析

在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，合作交流中完成的学习任务.尝试指导与自主学习相结合.

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教学过程

教学环节

课前练习

5 教学内容

解方程：

1、x–3=0

2、–2x+5=0

师生互动

设计意图

3、x

– 2x

–3 = 0 4、x2

– 2x + 1 = 0。

5、x2

– 2x + 3 =0

1观察下列三组方程与函数方

程

x2–2x–3 = 0 x2–2x+1 = 0 x2–2x+3 = 0 函

数

y=x2–2x–3 y=x2–2x+1 y=x2–2x+3 2学生笔算

回忆方程的解法

引入探究

8 利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系

2.一元二次方程的根与二次函数的关系对于二次函数y

= ax2

+ bx

+ c与二次方程ax2 + bx + c=0，其判别式△= b2

– 4ac

师生合作师：方程x2

– 2x

–3 = 0的根为–1，3函数y = x2

– 2x

– 3与x轴交于点(–1，0) (3，0)以旧生：x2

– 2x + 1 = 0有两个相等根为1.引新，导函数y= x2

– 2x + 1与x轴有唯一交点

(1，0).入课题

x2

– 2x + 3 = 0没有实根函数y = x2

– 2x + 3与x轴无交点

判别方程ax2 + bx 函数y = ax2 + 式

+ c = 0的根

bx + c与X轴的交点

△＞0 两不相等实根

两个

△=0 两相等实根

△＜0 没有实根

一个

没有

1.零点的概念对于函数y=f (x),称使

y=f (x)= 0的实数x为函数

y=f (x)的零点判别方程ax2 + bx 函数y = ax2 + 式

+ c = 0的根

bx + c的零点

△＞0 两不相等实根

两个零点

概念形成与理解

10 △=0 两相等实根

△＜0 没有实根

一个零点

没有零点

小结：.函数的零点与方程根的关系方程f (x) = 0有实数根函数y = f (x)的图象与x轴有交点函数y = f (x)的零点

师:我们通俗地称函数与x轴交点的横坐标为函数的零点。

归纳总结学生思考：函数yf(x)的零点、方程f(x)0的实数根、函数yf(x)

的图象与x感知概念轴交点的横坐标，三者有什么关系？

师：举例说明

分析特征练习一：

生：图一：x = -4和x = 1 形成概念

图二：x = -6和x = 1 练习二：

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练习一：看图说出函数的零点

练习二.利用函数图象求函数的零点

1）

y=2x

－1

2）

y = lgx

3）

y=x2

－4x +3

1）

2）

3）

师生合作，学生口答，老师点评，老师举例（y=x+1的零点如何求）阐述引导学生回答下列问题（小结）以问题讨生

①如何求函数的零点？论代替老①零点即函数为零对应的自变量的值,零点即②零点与图象的关系怎样？

师的讲援

对应方程的根，求零点可转化为求方程的根

②零点即函数图象与x轴交点的横坐标概念深化

2 应用举例

12 练习三：利用解方程求函数的零学生自主尝试练习完成练习

点

练习解析：

①y=x －3 ②y= log2(x

+ 1) 练习一：生：①y = x —3的零点是x = 3 ②y = lg2(x + 1)的零点是x=0

③y = 2x

– 2

④yx24x4

③y = 2x

– 2的零点是x = 1 练习四：已知函数f(x)=x2-ax+1,④yx24x4的零点是x = 2 若f(x)在R上只有一个零点，则a=

；若f(x)在R上有2

练习二：±2；a<-2或a>2 个零点，则a的取值范围是

（1）知识方面

零点的概念、求法、判定

（2）数学思想方面

函数与方程的相互转化，即转化思想

借助图象探寻规律，即数形结合思想

1、

函数

f(x)(x22)(x23x2)的零点个数为（

）.

A.

1

B. 2

C.

3

D. 4 2、

函数yxx20的零点为

. 3.、求函数y = –x2

– 2x + 3的零点，并指出y＞0，y = 0时x的第

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2让学生动手练习，加深对概念的说明，培养思维能力

归纳总结

3 回顾、反学生归纳，老师补充、点评、完善

思、归纳师：小结：

知识，提（1）

找零点的方法：看图、画图、解方程

高自我整（2）

转化化归思想和数形结合的思想

合知识的能力

课后作业

学生独立完成

固化知识，提升能力

取值

4、《学习与评价》P79：1、2、5、7

教学反思：

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