习题2.3教案1

幂函数教学设计

一．教学目标设计：

1．教学目的

（1）理解幂函数的概念；

（2）通过五个具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.

2．教学过程

首先提出幂函数的概念，然后类比研究一般函数的过程与方法来研究幂函数的图象和性质，最后应用这些知识解题.

3．情感、态度、价值观

（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；

（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.

二、教学重点与难点设计： 重点：从五个具体的幂函数中认识一般幂函数的概念和性质 难点：从具体幂函数的图象中概括其性质

[ ]三、教学特点设计：

以问题为载体；以学生为主体；以多媒体为辅助手段；以能力提高为主要目标。重视情感的体验过程；概念的提取过程；知识的形成过程；解题的探索过程。 四、教学过程设计：

教学过程是课堂的主体，我们应该对每堂课都做好充分的准备。我为这第

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堂课设计了如下的六个教学环节：

1、创设情境，

提出问题：

在这堂课的

，我用动画的形式提出如下5个问题：

(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p=_____元， 这里__是__的函数；

(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=______，这里__是__的函数； (3) 如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V=______，这里__是__的函数；

(4) 如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长

a=______，这里__是__的函数；

(5) 如果某人t秒内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v=_______km/s，这里__是__的函数. 【设计意图】从身边发现数学问题，通过学生对现实生活中问题的关注，提高学生提出问题的能力，激发学生的学习兴趣，引发学生对实际问题的思考。

2、分析问题，形成概念

[ ]我先请同学回答上述问题，再给出下列问题.

1o 它们的对应法则分别是什么？

2o 以上问题中的函数有什么共同特征？

然后让学生先自主探究，再分组讨论交流，抽取一组代表发言，第

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引导学生概括出结论。

答：1o乘以1 ；求平方；求立方

；求算术平方根；求－1次方。

2o上述的问题涉及到的函数，都是形如：yx，其中x是自变量，是常数.

【设计意图】首先考察学生分析问题、解决问题的能力。再让学生自主探究，通过恰当的引导，从而使学生能更好地形成数学概念（由对实际问题的解决自然地过渡到对新概念的形成，使得知识的衔接较为顺畅，概念的形成水到渠成）。

3、提炼概念，探究新知

有了前面的探索，我可以提炼幂函数的定义。

一般地，形如yx（xR）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，是常数. 如yx,yx,yx等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函21314数一样，都是基本初等函数.

在通过例子，巩固幂函数的概念。

例1. 判断下列函数是否为幂函数

（1）y=3x (2) y= x (3) y=y=x3+1 答：(2) (3) 【设计意图】培养学生对概念的把握，通过例题熟悉概念，从而可以做到举一反三，避免题海战术，避免解题的盲目性。

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1 (4) y=x2 (5) 2x

4、结合图像，深入探究 学习函数一般先研究函数的图像，再通过图像研究图像的性质，然后能应用性质。学习幂函数也一样，先研究幂函数的图像。

提问：如何画出以下五个函数图像？

（1）yx （2）yx （3）yx2 （4）yx1 （5）yx3

引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像. 12

让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质.

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通过观察图像，填P78探究中的表格

图 像

定义域

值域

奇偶性

R R 奇

[ Z,xx,k.Com]yx

yx

2yx

3yx

12yx1

R R 奇

R x|x0

x|x0

0,

奇

0,

非奇非偶

{y|y0} 奇

在第Ⅰ象在第Ⅰ在第Ⅰ在第Ⅰ象在第Ⅰ象在第Ⅰ限单调性

象限单象限单限单调递限单调递象限单调递增

调递增

增

定点

增

调递减

（1，1）

（1，1）

（1，1）

（1，1）

（1，1）

再通过例子熟悉这种方法。

例2：画出y=x的图像，并指出它的定义域，值域，奇偶性，单调性。

分析：用描点法画出函数的图像，然后由图像说性质。

解：定义域为R，值域为0,，偶函数，在,0单调递减，在0,单调递增。

再让学生分组讨论：幂函数具有哪些性质？

糅合学生的问题，总结出幂函数的几个基本性质：

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：1x1）；

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（2）a>0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当a＞1时，图象形状向下凹; 当0∠α＜1时，图象形状向上凸，. （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴. (4) 当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数．

【设计意图】这是这节课的重点与难点。首先通过五个基本幂函数的图像，得出它们的性质，再在此基础上总结出幂函数的几个基本性质。培养学生的类比能力、探索能力、思维能力、归纳总结能力。

5、运用新知，解决问题

例3.幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的图象如图3所示，则a，b，c，d的大小关系是(

) A．a>b>c>d

B．d>b>c>a

C．d>c>b>a

D．b>c>d>a 分析：方法一：类比

方法二：取x=2来解

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答：选D. 例4．证明幂函数f(x)x在[0,]上是增函数

分析：回顾函数单调性的证明的一般步骤，并注意出现根式相减的一般处理方法。

证：任取x1,x2[0,),且x1＜x2则

f(x1)f(x2)x1x2

= =(x1x2)(x1x2)x1x2

x1x2

x1x2 因x1x2＜0，x1x2＞0 所以f(x1)f(x2)，即f(x)x在[0,]上是增函数.

[ 学.科.网]例5．判断下列两个值的大小

（1） 3

和3.1 （2）85252781

和（）8 （3）31.4和3.11.5

97分析：比较幂的大小，一般有几类：（1）底同指数不同；（2）指数相同底不同；（3）指数与底都不同，这是要找中介量。

答：(1) > (2) > (3) < 【设计意图】及时检验学生掌握所学新知识的情况，发现学生在解题过程中是否存在问题。争取做到及时发现，及时纠正。

6、归纳总结，巩固提高

为了能使学生对这堂课所学的知识有一个清晰而完整的印象，我第

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准备从以下两方面做个小结。 （1）掌握幂函数的定义；

（2）熟练掌握五种幂函数yx、yx、yx、yx、yx1的2312图像与性质；

（3）学会从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性多方面了解密函数的特征，并能进行简单的应用。

然后布置作业：

课后作业：P79 习题 2.3 第1、2题

【设计意图】通过对所学知识进行归纳总结，可以使学生能从总体上把握这堂课的内容，并将所学知识纳入已有的认知结构。通过布置作业，可以使学生巩固课堂内容，并为下一课教学埋下伏笔。

五、教学反思设计

（1）与学生交流，反思自己的讲解有没有从根本上解决学生存在的问题，有没有提高学生的思维能力，教学是否达到了预期目标；

[ ]（2）与同事交流，反思设计的依据、出发点，反思教学重心、基本教学过程，反思富有创意的素材或问题等。

（3）通过批改作业，反思知识的渗透是否到位，学生是否理解了问题的本质性的东西等。 （4）从参考资料、教学信息等方面反思。学习相关的数学教育理论，参考多方面的教学信息，可以丰富我的知识水平，开阔我的教学思路，使我理智的看待自己教学活动中“熟悉的”、“习惯性”的行为，第

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能使我更大限度的做出有效的教学决策。

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