习题3.1教案1

2.8 函数与方程

一、学习目标

1、能够举例说明函数的零点，以及函数的零点、方程的根与函数图像与x轴交点的联系

2、会运用零点定理解决函数零点的存在性问题；能够将函数零点的个数问题转化为方程的根或函数图像的交点个数问题来解决。

二、知识梳理

1.函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y=f(x)(x∈D),把使

成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.

(2)函数零点的等价关系

方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与

有交点⇔函数y=f(x)有

.

(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间［a，b］上的图象是连续不

断的一条曲线，并且有_______________,那么函数y=f(x)在区间________内有零点,即存在c∈(a,b),

使得_________，这个____也就是f(x)=0的根. 2.二次函数yax2bxc(a0)的图像与零点的关系

函数

yax2bxc(a0)

△>0 △=0

△<0

图像

与x轴的交点

零点个数

三、基础自测

1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0). (

) (2)二次函数y=ax+bx+c(a≠0)在b-4ac<0时没有零点. (

) (3)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象是连续的),则f(a)·f(b)<0. (

) (4)若函数f(x)在(a,b)上连续单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点. (

) (5)函数y=2sin x-1的零点有无数多个. (

) 2.(2016山东青岛一模)函数f(x)=1-xlog2x的零点所在区间是(

) A (,) B (,1) C (1,2) D(2,3)

3.如果二次函数y=x+mx+m+3有两个不同的零点,那么m的取值范围是(

) A.(-2,6)

B.[-2,6] C.{-2,6} D.(-∞,-2)∪(6,+∞) 222114212

四、例题学习

例1、在下列区间中,函数f(x)=e4x3的零点所在的区间为(

) A (x111113,0) B (0,) C (,) D(,)

4442246xlog2，在下列区间中，函数f(x)的零点所在的区间是( ) xx对点训练

1、已知函数f(x)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 2、已知函数f(x)22a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是

xA.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2) (3)函数f(x)=x3x18在区间[1,8]上

零点.(填“存在”或“不存在”)

方法小结：判断函数yf(x)在某个区间上是否存在零点的常用方法有哪些？

例2：1.函数f(x)ex3x，则方程e3x0实数解的个数是(

) A.0 B.1

2xx2 C.2 D.3 2.函数f(x)x2 (xR)的零点的个数是（ ）

A.0 B.1

C.2 D.3 对点训练：1.函数f(x)sin(cosx)在区间[0,2π]上的零点个数是(

) A.3 B.4 C.5 D.6 2．函数f(x)x()的零点个数为（ ）

A.0 B.1 C.2

方法小结：判断函数零点个数的方法

D.3 1212x

高考链接：1. 函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为 （ ）

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4（2013天津）

2.若abc，则函数fxxaxbxbxcxcxa的两个零点分别位于区间 （ ）

A、a,b和b,c内 B、,a和a,b内 C、b,c和c,内 D、,a和c,内

3..已知函数f(x)=ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围

A.（2，+∞） B.（-∞，-2） C.（1，+∞） D.（-∞，-1）（2014.11）

4．已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a= A．

1 2

B．

13

C．1

2

D．1