习题2.2教案范文

对数与对数运算

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1、

理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；

2、

掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.

一、对数的定义

一般地，如果

aa0,a1的b次幂等于N, 就是

aN，那么数

b叫做

以a为底

N的b对数，记作

logaNb，a叫做对数的底数，N叫做真数。

特别提醒：

1、对数记号logaN只有在a0且a1，N0时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。

2、记忆两个关系式：①loga10；②logaa1。

3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便, N的常用对数log10N，

简记作：lgN。

例如：log105简记作lg5

log103.5简记作lg3.5。

4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为了简便，N的自然对数logeN，简记作：lnN。

如：loge3简记作ln3；loge10简记作ln10。

二、对数运算性质：

如果

a0,a1,M0,N0,nR

有：

loga(MN)logaMlogaN logalogaMnnlogaM(nR)

MlogaMlogaN

N特别提醒：

1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立。如log2(3)(5)是存在的，但log2(3)(5)log2(3)log2(5)是不成立的。

2、注意上述公式的逆向运用：如lg5lg2lg101；

1



三、对数的换底公式及推论：

对数换底公式：logaNlogmNa0,a1,m0,m1,N0

logma（2）logablogbclogca1

两个常用的推论: （1）logablogba1

四、两个常用的恒等式：

alogaNN，

logambnnlogaba0,a1,b0,N0

m

类型一

指数式与对数式的相互转化

例1：将下列指数式与对数式进行互化．

1x(1)3＝；

2711－(3)52

＝；

5(5)lg0.001＝－3; 1解析：(1)log3＝x. 27(2) log1 64＝x. 4(3)log5141x(2)＝64；

4(4)log(6)log24＝4；

(21)＝－1. 211＝－. 25(4)(2)＝4. (5)10＝0.001. (6)(2－1)＝2＋1. 答案：见解析

练习1：将下列指数式与对数式进行互化．

(1)e＝1；

(2)(2＋3)＝2－3；

(3)log327＝3；

(4)log0.10.001＝3. 33答案：(1)ln1＝0.(2) log23(23)＝－1.(3)3＝27.(4)0.1＝0.001. －10－1－3练习2：将下列对数式与指数式进行互化．

1－43(1)2＝；(2)5＝125；(3)lga＝2；(4)log232＝5. 161答案：(1)log2＝－4. 16(2)log5125＝3. 2

(3)102＝a. (4)25＝32.

类型二

对数基本性质的应用

例2：求下列各式中x的值．

(1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lgx)＝1；

解析：(1)∵log2(log5x)＝0，

∴log5x＝1，∴x＝5. (2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝3，∴x＝10＝1 000. 答案：（1）x＝5.（2） x＝1 000.

练习1：已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值．

答案：80 练习2：

已知4＝2，lgx＝a，则x＝______.

答案：10

类型三

对数的运算法则

1例3：计算(1)loga2＋loga(a>0且a≠1)；

2(2)log318－log32；

(3)2log510＋log50.25；

11解析：(1)loga2＋loga＝loga(2×)＝loga1＝0. 22(2)log318－log32＝log3(18÷2)＝log39＝2. (3)2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25 ＝log5(100×0.25)＝log525＝2. 答案:

（1）0（2）2（3）2

1练习1：

计算log535＋2log22－log5－log514的值．50答案:4

练习2：

计算：2log510＋log50.25的值为________．

答案：2

类型四

带有附加条件的对数式的运算

18例4：lg2＝a，lg3＝b，试用a、b表示lg108，lg.253232解析：lg108＝lg(27×4)＝lg(3×2)＝lg3＋lg2＝3lg3＋2lg2＝2a＋3b. 18102222lg＝lg18－lg25＝lg(2×3)－lg2＝lg2＋lg3－lg10＋lg2＝lg2＋2lg3－2＋2lg2＝3a＋2522b－2. 答案：3a＋2b－2.

练习1：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg45.答案：0.8266

练习2：若lgx－lgy＝a，则lg()－lg()等于(

) 223

23a

x3y3

A．

2答案:D

aB．a

3aC．

2D．3a

类型五

应用换底公式求值

15例5: 计算：lg－lg＋lg12.5－log89·log278.2815解析：lg－lg＋lg12.5－log89·log278 281525lg9lg8＝lg－lg＋lg－·

282lg8lg2718252lg321＝lg××－＝1－＝. 332523lg31答案：

3练习1:

计算(log125＋log25＋log5)·(log2＋log4＋log2485251258)．

答案：13

练习2:log89·log32的值为(

) 2A．

3答案：A

类型六

应用换底公式化简

例6:

已知log89＝a，log25＝b，用a、b表示lg3. lg92lg3解析：∵log89＝＝＝a，①

lg83lg2lg51－lg2又∵log25＝＝＝b，②

lg2lg2由①②消去lg2可得：lg3＝3a答案：lg3＝. 21＋b练习1: 已知log23＝a，log37＝b，则log1456＝(

) A．3a. 21＋bB．1 3C．

2D．2 ab＋3

ab＋1B．ab＋3

ab＋1C．b＋3

ab＋1D．ab－3

ab＋1答案：A 练习2:

已知log72＝p，log75＝q，则lg5用p、q表示为(

) A．pq

答案：B

B．qp＋q

1＋pqC．

p＋qD．

1＋pqpq

1、使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(

) 4

1A．0＜a＜且a≠1

2C．a＞0且a≠1

答案：

B 1B．0＜a＜

21D．a＜

22、

已知x、y为正实数，则下列各式正确的是(

) A．2lgx＋lgy2＝2lgx＋2lgy C．2(lgx·lgy)＝2lgx＋2lgy 答案：A 3、

若lg2＝a，lg3＝b，则2a＋bA．

1－a＋ba＋2bC．

1－a＋b答案：A 4、．log52·log425等于(

) A．－1 C．1 答案：C 115、化简logb－loga的值为(

) abA．0

C．2logab

答案:A B．1

D．－2logab

1B．

2D．2 lg12等于(

) lg152a＋bB．

1＋a＋ba＋2bD．

1＋a＋bB．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy

D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy

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基础巩固

11．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－等于(

) 21A．

31B．

235

1C．

22答案：C 2．若f(10x)＝x，则f(3)的值为(

) A．log310

C．103

答案：B 1D．

33B．lg3 D．310

3．如果lgx＝lga＋3lgb－5lgc，那么(

) A．x＝a＋3b－c

ab3C．x＝5

c答案：C 14．方程2log3x＝的解是(

) 4A．3

3B．3 D．9 3abB．x＝

5cD．x＝a＋b3－c3

1C．

9答案：C 5．eln3－eA．1

5C．

2答案: C

－ln2等于(

) B．2

D．3 能力提升

6．若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________. 答案：-3 7．若logx(2＋3)＝－1，则x＝________. 答案：2－3

8．已知log32＝a，则2log36＋log30.5＝________. 答案：2＋a

9. (1)设loga2＝m，loga3＝n，求a2m－＋n的值；

22x＋22x＋2(2)设x＝log23，求的值．

－2x＋2x6

答案：(1)12. 10. 已知logax＋3logxa－logxy＝3(a＞1)．

(1)若设x＝at，试用a、t表示y；

10(2). 3(2)若当0＜t≤2时，y有最小值8，求a和x的值．

答案：(1)y＝at2－3t＋3(t≠0)．

(2)a＝16，x＝64.

7 课程顾问签字： 教学主管签字：