小结教案范文

函数与方程复习

一、教学目标：

１、结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系；

２、会处理函数的零点存在性或个数问题、方程根存在性或个数的问题。

二、教学重难点：

重点：１、判断零点所在区间；

２、确定函数零点的个数。

难点：函数零点的应用。

三、教学过程：

1．函数的零点

(1)函数零点的定义：

函数y＝f(x)的图像与

称为这个函数的零点．

(2)函数零点的定义：

函数y＝f(x)的图像与

称为这个函数的零点．

(3)利用函数性质判定函数零点：

若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号

，即

，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．（“+”单调性确定唯一）

2．二分法

每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个

的方法称为二分法．

[例1]

设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间

(

)

A．(－1,0)

B．(0,1)

C．(1,2)

D．(2,3) [自主解答] ∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1>0. －－∴函数f(x)在R上单调递增．f(－1)＝e1＋(－1)－4＝－5＋e1<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝e＋1－4＝e－3<0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，f(1)f(2)<0，故零点x0∈(1,2)．

[答案]

C

小结：

利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续不断，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4)

A．0

B．1

C．2

D．3

A．4

B．3

C．2

D．1

判断函数零点个数的常用方法

(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．

[例3]

已知函数f(x)＝e－x＋a有零点，则a的取值范围是________．

[自主解答]

∵f(x)＝ex－x＋a，

∴f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0.

当x<0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－∞，0)上是减函数；

当x>0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

故f(x)min＝f(0)＝1＋a.

若函数f(x)有零点，则f(x)min≤0，

即1＋a≤0，得a≤－1.

[答案]

(－∞，－1] 变式：若函数变为f(x)＝ln x－2x＋a，其他条件不变，求a的取值范围．

已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

x

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

3．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)是偶函数，

当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间[－1,3]上函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围是______

[典例2]

已知函数f(x)＝x－3x－9x＋3，若函数g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3个零点，则m的取值范围为

(

) A．(－24,8)

B．(－24,1] C．[1,8]

D．[1,8)

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