习题2.1第二课时 公开课

第十八课时

指数函数（3）

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剩留量问题

指数复利问题

函

数应增长（降低）率问题

用

选用函数模拟数据

学习要求

1．熟练掌握指数函数的图象和性质；

2．能运用指数函数的图象和性质解决一些实际问题，体会指数函数是一类重要的函数模型； 3．培养学生从特殊到一般的抽象、归纳的能力以及分析问题、解决问题的能力．

自学评价

1．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，可以用公式y

N1px表示.

【精典范例】

例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的84%．写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式．

【解】

设该物质的质量是1,经过x年后剩留量是y. 经过1年,剩留量y10.840.84

经过2年,剩留量y0.840.840.842

…………………………

经过x年,剩留量y0.84x(x0)

点评:先考虑特殊情况，然后抽象到一般结论．

例2：某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和（本金加上利息）为y元．

（1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；

（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．

分析：复利要把本利和作为本金来计算下一年的利息．

【解】

(1)已知本金为a元,利率为r则: 1期后的本利和为yaara(1r) 2期后的本利和为

ya(1r)a(1r)ra(1r)2

……………………………

x期后的本利和为ya(1r)x,xN

(2)将a1000,r2.25%,x5代入上式得

y1117.68(元). 答:5期后的本利和为1117.68元

点评:审清题意是求函数关系式的关键；同时要能从具体的、特殊的结论出发，归纳、总结出一般结论．

例3：20002002年，我国国内生产总值年平均增长7.8%左右．按照这个增长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到2010年我国国内生产总值约为2000年的多少倍（结果取整数）．

【解】设2000年我国的年生产总值为a,则年生产总值y随时间x(年)的函数关系可

表示为

ya(10.078)xa1.078x,xN

图象为

由图象可见经过10年国内生产总值约2倍. 或当x10时

ya1.078102a，

答:2010年我国国内生产总值约为2000年的2倍.

点评:建立函数关系是解决实际问题的重要方法，同时利用函数图象求方程的近似解是常用方法．

追踪训练一

1.（1）

一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件a个,计划从今年开始的m年内,每年生产

此种规格电子元件的产量比上一年增长p%,则此种规格电子元件的年产量y随年数x变化的函数关系式为

ya(1p%)x(xm,xN*)

.

（2）一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件的成本是a元/个, 计划从今年开始的m年内, 每年生产此种规格电子元件的单件成本比上一年下降p%,则此种规格电子元件的单件成本y随年数x变化的函数关系式是

ya(1p%)x(xm,xN*)．

2.

2000年10月18日,美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息:”市政委员会今天宣布:本市垃圾的体积达到50000m3”,副标题是:”垃圾的体积每三年增加一倍”.如果把三年作为垃圾体积加倍的周期,请你完成下面关于垃圾体积V(m3)与垃圾体积的加倍的周期(3年)数n的关系的表格,并回答下列问题: 周期数n

体积Vm3

0

5000020

1

5000021

2

5000022

…

…

n

500002n

(1)

设想城市垃圾的体积每三年继续加倍,问24年后该市垃圾的体积是多少? (2)

根据报纸所述的信息,你估计3年前垃圾的体积是多少? (3)

如果n2,这时的n,V表示什么信息? (4)

写出n与V的函数关系式,并画出函数图象(横轴取n轴); (5)

曲线可能与横轴相交吗?为什么? 解:(1)由于垃圾的体积每3年增加1倍,24年后即8个周期后, 该城市垃圾的体积是500002812800000(m3). (2) 根据报纸所述的信息,估计3年前垃圾的体积是500002125000(m3). (3)如果n2,这时的n表示6年前,V表示6年前的垃圾. （4）n与V的函数关系式是V500002n，图象如图

（5）对任意整数n，有2n0，所以V500002n0，曲线不可能与横轴相交.

【选修延伸】

一、指数函数与二次函数的选择

例4: 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据．用一个函数模拟该产品的月产量y与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或yabxc（其中

a,b,c为常数）．已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用哪个函数作为模拟函数较好并说明理由．

解】

(1)若选用二次函数,则可设为yax2bxc(a0)

由条件可得: abc14a2bc1.2 解9a3bc1.3a0.05得:b0.35

c0.7 y0.05x20.35x0.7

当x4时,y1.3(万件) (2)若选用yabxc

abc1 ab2c1.2

解得ab3c1.3a0.8b0.5

c1.4 y0.8(12)x1.4

当x4时,y1.35(万件) 由(1)(2)可得选用yaxb较好c.

追踪训练二

1．某人承包了一片荒山，承包期限为10年，准备栽种5年可成材的树木。该树木从树苗到成材期间每年的木材增长率为18%，以后每年的木材增长率为10%，树木成材后，既可出售树木，重栽新树苗，也可让其继续生长至承包期满。问：哪一种方案可获得较多的成材木材量？（参考数据：1.151.61）．

解：设新树苗的木材量为Q，

①若连续生长10年，木材量为

NQ(118%)5(110%)5，

②生长5年重栽新树苗，木材量为

M2Q(118%)5，

则M2Q(118%)5NQ(118%)5(110%)521.1521.611．

∴MN，

生长5年重栽新树苗可获得较大的木材量．

学生质疑

教师释疑

【