探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系10分钟试讲教案

互为反函数的图像之间的关系

一、教材分析：

本节课是《数学（1）》（人教A版）第二章第二节后探究与发现内容，这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，体会互为反函数的两个函数图像之间的关系，又可使学生加深对函数基本概念的理解。

二、学情分析：

学生已经学习了函数的基本概念和表示法，掌握了函数的基本知识，理解反函数的概念及互为反函数的两个函数的性质和特征，更有助于学生将函数的思想理解得更透彻。通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程. 三、教学目标分析： 知识与技能：

（1）了解互为反函数的函数图像间的关系，并能利用这一关系，由已知函数的图像作出反函数的图像。

（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。

过程与方法：由特殊事例出发，由教师引导，学生主动探索得出互为反函数的函数图像间的关系，使学生探索知识的形成过程，本可采用自主探索，引导发现，直观演示等教学方法，同时渗透数形结合思想。

（3）情感态度价值观：通过图像的对称变换是学生该授数学的对称美和谐美，激发学生的学习兴趣。

四、教学重点与难点

教学重点：互为反函数的两个函数图像之间的关系

教学难点：反函数的定义和求法. 五．教学过程：

1．复习

（1）反函数的概念，什么样的函数才有反函数？以及求反函数的步骤

（二）师生互动、探究新知

探究点一指数函数与对数函数的关系

为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数y2x及ylog2x的图象.（2）用列表描点法在同一个直角坐标点中画出y2x与ylog2x的函数图象.` 2．讲授新知

y2x

x

y

…

…

－3 －2 －1 0 1 1 2 2 4 3 8 …

…

1

81

41

2ylog2x

x

y

…

－3 －2 －1 0 1 2 3 …

…

1

81

81

21 2 4 8 …

图象如下：

y

y2x

ylog2x

0 x

问题1：指数函数与对数函数互为什么函数？函数又是如何得到它的反函数的呢？

x答：指数函数和对数函数互为反函数，由y=2得到对数函数x=log2y的式子再互换y和x的位置问题2 ：那么这种互为反函数的图像间是什么关系呢？

x数 和对数函数 x的图像,并画出指数函问题3 ：请画一画指数函数 和

2x数，它们的函数图像有什么关系？

1x和对数函1y=()

y=logy2ylog2()2yx答：P1,P2,P3,直线的对称点坐标分别为'1''P,0),P1(,1),P2(13(2,1),每个点坐标满足ylog2x，它们在函数ylog2x的图像上

2问题4：

如果点P0(x0,y0)在的图象上，那么P0(x0,y0)关于直线yx的对称点坐标是什么？它在函数的图像上吗？为什么？

x0'答：利用对称性可知P0(x0,y0)关于直线yx的对称点坐标分别为P0(y0,x0)，因为y02，所以'x0log2y0，即点P0(y0,x0)在函数ylog2x的图像上。

问题4：请大家讨论一下如何证明：指数函数

y2x 和对数函数ylog2x

关于直线y=x对称。

答：取函数y2x的图象上的几个点，如：1P(1,),P2(0,1),P1,P2,P3,关于直线yx的对称点坐标是什么？13(1,2),P2在函数ylog2x的图像上吗？为什么？

它们

问题5：上述结论对于指数函数以及对数函数的图像也成立吗？为什么？

答：指数函数以及对数函数的图像关于直线y＝x对称，因为设P0(x0,y0)在函数yax(a0,a1)上，由x0'对称性可知P0(x0,y0)关于直线yx的对称点坐标分别为P0(y0,x0)，由则y0a，所以x0logay0，即'点P0(y0,x0)在函数ylogax的图像上，所以两图像关于直线y＝x对称

问题7：由上述探究过程可以得到什么结论？

知识应用: 例1：求函数y=3x-2(x∈R)的反函数，并画出原函数和它的反函数的图象。

解：由y=3x-2(x∈R)因此y=3x-2(x∈R）的反函数为

x+2(x∈R)y=3

例2：求函数y=x2(x≥0)的反函数，并画出原函数和它的

反函数的图象的图象也过此点，

求函数f(x)的解析式

1）求

f ( x ) 的反函数；

2）由题

函数图象关于

y = x 对称，可知

f（x）的反

解：由y=x2，得x=±y由于

x≥0，故得x=y

因此，函数y=x²(x≥0)的反函数是y=x

小结：求给定解析式的函数的反函数的步骤: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y＝f(x)中解出x; (3)x、y互换并注明反函数的定义域. 例3函数

f(x)=ax+b(x≥f(x)的解析式。

b)

的图象过点（1，2），它的反函数的图象也过此点，

求函数a

解：

点（1，2）关于直线y=x的对称

点为（2，1），可得函数f(x)的图象还

过（2，1）。得到

因此，函数的解析为

f(x)=

3x+7(x≥

3x+3{1=2=a+b2a+b

，解得a=-3,b=7. 7

例4在同一坐标系内画出函数

y

=

1

（x>-3）及其反函数的图象。

解：由几何性质可直接做一个函数的反

函数图象，而不必先求出其反函数。

（四）课堂小结：

1.

今天我们主要学习了什么？

2．包含那些数学思想？互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。

性质的应用：

（1）由几何性质可直接做一个函数的反函数图象，而不必先求出其反函数。

（2）（2）点A（a，b）在函数y=f(x)的图象上

点B(b，a)在其反函数f -1（x）的图象上。

1.对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数.它们的图象关于直线y＝x对称.单调性相同

2.求给定解析式的函数的反函数应本着以下步骤完成: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y＝f(x)中解出x; (3)x、y互换并注明反函数定义域. 3.数形结合的思想，和有特殊到一般的过程。

（五）课后作业：

2.作业本：

Ｐ６４－习题２.４－４、５

六、教学反思

1、根据本节课的内容及学生的实际水平，采取问题引导式教学方法并充分发挥几何画板辅助教学作用。

2、电脑多媒体以声音、动画、影像等多种形式强化对学生感观的刺激，这一点是粉笔和黑板所不能比拟的，采取这种形式，可以极大提高学生的学习兴趣，加大一堂课的信息容量，使教学目标更完美地体现。另外，电脑软件具有良好的交互性，可以将教师的思路和策略以软件的形式来体现，更好地为教学服务。

3、在教学过程中，不但要传授学生课本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、自我发现的学习能力，增强学生的综合素质，从而达到教学的终极目标。教学中，教师创设疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，在积极的双边活动中，学生找到了解决疑难的方法。整个过程贯穿“怀疑”——“思索”——“发现”——“解惑”四个环节，学生随时对所学知识产生有意注意，思想上经历了从肯定到否定、又从否定到肯定的辨证思维过程，符合学生认知水平，培养了学习能力。