阅读与思考 对数的发明优秀课堂实录

融入式———根据历史材料，编制数学问题

１．计算引入（教师出示四道计算题，学生自主完成）

计算：（１）32256

（２）4096128＝

（3）16＝

（４）532768＝

学生回答（略）．

师：通过这组计算，大家有什么感觉？生：运算量大，很繁．

２．对数发明的背景

教师介绍：16世纪前半叶，欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易．特别是地理探险需要更为准确的天文知识，对计算速度和准确性的要求与日俱增，人们希望将乘除法归结为简单的加减法．

３．对数产生的前奏

让学生观察两个数列，并找出规律：

0 1 2 3 1 2 4 8 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 416 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768

生答：前一排数设为ｎ，则后一排数可以表示为2n。

教师肯定学生后，介绍数学史：德国数学家史提非在观察上述两个数列时，称上排的数为“指数”，下排的数为“原数”。史提非发现，上一排数之间的加、减运算结果与下一排数之间的乘、除运算结果有一种对应关系，即假定我们想求下一排任两个数之积，只要计算与这两个数对应的上一排的数之和就行了．

师：根据以上叙述，我们一起来尝试把开始的四道计算题做一点改写，使运算简化．

＝2528＝258＝213；

（１）32256（２）4096128＝21227＝212-7＝25；

4444416（３）16＝(2)＝2＝2；

115（４）32768＝(2)5＝251515＝23．

师：这四道问题的改写，其数学本质是什么？

生：简化运算．化乘除为加减；乘方、开方为乘除运算．

教师故意提问：那么36×365呢，能否用上述表格来进行简化运算？

学生开始议论，很多学生都对上述简便运算的价值提出了质疑．有同学认为

简化运算的实质是把乘除转化成２的指数幂的加减法运算，而36,365不是有理数次幂，那上述简化运算就失效了．

教师追问：36和365能否表示成２的若干次幂的形式？学生面面相觑，不知道．

教师利用《几何画板》的测算功能，显示后，师生共同发现

3625.16993，7.56＝816，通过计算器求得36528.51175，计算5.16693＋8.5113213.68618＝13181.0712，而36365＝13140。

师：数据的差异取决于近似计算的精确度，与运算的本质无关．

生：按照这样的思路我们只需制作一张包含足够多数字的表格，就能算出各种各样数字的乘除和开方、乘方运算了．

师：经过刚才的探讨，可以断定这种方法是可行的．我们可以不断地完善表格中的数据，实际上在１７世纪许多人为了制作这样一张精确的表格而奉献了自己毕生的精力．

教师归纳：此法可推广到任何二个数的乘除运算，并不仅仅限于以２为底．

xy＝

aaa比如计算

36365，设36＝a，365＝a，则36365xyxy.

４．对数的产生

师：把我们的发现上升为一种全新的理论．

对于一般的ax＝N（a0，且a1），若已知a和Ｎ需要求出指数ｘ，则记为

xlogaN，我们把

ｘ

称作以a为底

Ｎ

的对数，其中

a叫做底数，Ｎ叫做真数．如：2x36xlog236，

2y365ylog2365．

教师简要介绍了数学家纳皮尔为对数的产生所做的巨大贡献；物理学家伽利略发出了豪言壮语：“给我时间、空间和对数，我可以创造出一个宇宙来．”数学家拉普拉斯说：“对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍”．

至此，本节课的重点即对数的概念已经产生，数学史融入对数的概念教学中，更使得学生产生无尽的遐想．

对比分析与感悟

《普通高

中数学课

程

标准》指出课堂教学应“努力揭示数学概念、结论发展过程，体会蕴涵在其中的数学方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化成学生易于接受的教育形态．”“对数”是高中数学中的一个核心概念，是学生在高中第一次接触的一个全新的概念，又比较抽象，构成学生理解上的难点．对于上述三种导入方案，以下从融入数学史的角度进行分析．

方案１以教材中一道指数函数问题为背景，依次提出三个问题，引导学生回顾指数运算

，让学生发现“已知底数和幂的值求指数”的新问题，之后又从两个角度引发学生的认知冲突，为引入对数埋下伏笔．它是将突破点定位于新旧知识的结合点上，利用对数与指数的联系，从数学逆运算的角度引出对数概念，突出了学习对数的必要性．课后反馈：有不少学生觉得对数概念很抽象，难以理解，因此，方案１的教学效果不够理想．分析原因，笔者以为，对数的定义出现得稍显直白，学生缺乏对“对数”概念发展过程的感受，对概念只能死记硬背．事实上，数学的概念和结论并不是“天外来物”，而是人类文化的重要组成部分，它们的产生和发展都有着丰富的历史文化背景．方案１仅仅把数学史的相关内容附带一点，作为课外阅读，其效果无疑会打个折扣．

方案２从介绍古代思想家庄子的数学史料开始，结合现代生活的热点问题———酒驾导入，引起学生的兴趣和对生活热点的关注．在数学运用之后，再穿插一段数学史的阅读材料，无疑比方案１的导入更具有人文思想，让学生不仅了解对数及对数发展的历程，动人、曲折的历史故事有益于激发学生的求知欲，有助于学生理解“对数”的概念．这也是目前高中教学中将数学史融入数学教学的普遍做法，操作很方便．但给我们有蜻

蜓

点

水

之感，它只是将数学史渗透于教学中，层次较低，未能发挥数学史融入课堂教学应有的作用．

回顾方案３的四个步骤，处处渗透着数学史．“对数发明的背景”和“对数的产生”环节给学生展示了一个波澜壮阔的大时代，使学生逐步认识对数发明的

意义．“计算引入”和“对数产生的前奏”环节再现了历史真实，教师在教学过程中提供原始问题和数据，让学生亲历原始思考过程，加深了对数学学科的理解———求真务实；让学生亲历化乘除为加减，化乘方、开方为乘除的过程，揭示出对数的本质属性———降低运算级别所带来的简捷性，这也正是历史上对数产生的意义所在．即通过数学史的融入，让学生经历对数概念的发生、发展过程．与此同时，通过学生不断思考、探索的过程，有助于培养他们的思维能力，还有那动人、曲折的历史故事，激发了学生的求知欲，有利于学生形成锲而不舍的钻研精神和科学态度等，这些都体现了概念教学中融入数学史的意义．另外，教师的教学设计并没有完全照搬历史，而是对数学史的资源进行了再加工，例如在数学的发展史上，从指数出发来定义

对数，回避了

“先有对数

后

有指数”、“还是先有指数后有对数”的争议．这是基于学生的认知特点，容易被学生接受．正是由于上述数学史的融入，才使抽象的对数概念更易于学生理解接受．可见，与方案２比较，方案３是数学史在数学课堂上较高层次的应用．

新课程强调在数学概念的教学过程中应充分揭示数学知识产生、发展的全过程，同时强调数学概念的形成应该是“自然”的、符合学生的认知规律的．教学中，有的概念比较抽象，构成学生理解上的难点，如何揭开抽象概念那“冰冷美丽”的面纱？实践表

明：通过

挖

掘

史

料，以

数

学

史

融

入

教学，则能揭示概念的背景，让学生经历概念发展的历程，从而理解概念．

在操作层面，要真正实现数学史有效融入数学教学，教师必须深入理解数学史的知识意义和方法意义，注意结

合教材特

点

和学

生

的

经

验、体验，对数学史资源进行选择、组合、改造与再加工，使学生容易接受、乐于接受，并能从中得到有益的启迪，切实发挥以史激情、引趣，以史启真、促思的功能．正像法国著名数学家包罗

·

朗之万

所说：“在数学教学中，加入历史具有百利而无一弊

”