习题2.2第二课时教学实录

一、情境引入

1.在16世纪，随着哥白尼日心说盛行，天文学蓬勃发展，以及欧洲人渐渐热衷于地理探险和海上贸易，由于当时没有计算机，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间，这时候人们迫切的想找到一种新的运算方法来改进计算？

2.请同学们计算下面问题：

316(1)32x256 (2)4096÷128 （3） （416384

二、探索发现(学案提前下发预习) 对数的基本思想可以追溯到古希腊时代。早在公元前500年，阿基米德就研究过几个10的连乘积与10的个数之间的关系，用现在的表达形式来说，就是研究了这样两个数列：

1，10，100，1000，10000，100000，……

0，1，2，3，4，5，……

他发现了它们之间有某种对应关系。利用这种对应可以用第二个数列的加减关系来代替第一个数列的乘除关系。阿基米德虽然发现了这一规律，但他却没有把这项工作继续下去，失去了对数破土而出的机会。

2000年后，一位德国数学家对对数的产生作出了实质性贡献，他就是史蒂非。1514年，史蒂非重新研究了阿基米德的发现，他写出两个数列：

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11……

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048……

他发现，上一排数之间的加、减运算结果与下一排数之间的乘、除运算结果有一种对应关系，例如，上一排中的两个数2、5之和为7，下一排对应的两个数4、32之积128正好就是2的7次方。实际上，用后来的话说，下一列数以2为底的对数就是上一列数，并且史蒂非还知道，下一列数的乘法、除法运算，可以转化为上一列数的加法、减法运算。例如，23×25＝23＋5，等等。

就在史蒂非悉心研究这一发现的时候，他遇到了困难。由于当时指数概念尚未完善，分数指数还没有认识，面对像17×63，1025÷33等情况就感到束手无策了。在这种情况下，史蒂非无法继续深入研究下去，只好停止了这一工作。但他的发现为对数的产生奠定了基础。

纳皮尔的功绩

15、16世纪，天文学得到了较快的发展。为了计算星球的轨道和研究星球之间的位置关系，需要对很多的数据进行乘、除、乘方和开方运算。由于数字太大，为了得到一个结果，常常需要运算几个月的时间。繁难的计算苦恼着科学家，能否找到一种简便的计算方法？数学家们在探索、在思考。如果能用简单的加减运算来代替复杂的乘除运算那就太好了！这一梦想终于被英国数学家纳皮尔实现了。

纳皮尔于1550年生于苏格兰的爱丁堡。他家是苏格兰的贵族，他13岁入圣安德卢斯大学学习，后来留学欧洲，1571年回到家乡。纳皮尔是一位地主，他曾在自己的田地里进行肥料施肥试验，研究过

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饲料的配合，还设计制造过抽水机。他的兴趣十分广泛，一方面热衷于政治和宗教斗争，一方面投身于数学研究。他在球面三角学的研究中有一系列突出的成果。

纳皮尔研究对数的最初目的，就是为了简化天文问题的球面三角的计算，他也是受了等比数列的项和等差数列的项之间的对应关系的启发。纳皮尔在两组数中建立了这样一种对应关系：当第一组数按等差数列增加时，第二组数按等比数列减少。于是，后一组数中每两个数之间的乘积关系与前一组数中对应的两个数的和，建立起了一种简单的关系，从而可以将乘法归结为加法运算。在此基础上，纳皮尔借助运动概念与连续的几何量的结合继续研究。

纳皮尔画了两条线段，设AB是一条定线段，CD是给定的射线，令点P从A出发，沿AB变速运动，速度跟它与B的距离成比例地递减。同时，令点Q从C出发，沿CD作匀速运动，速度等于P出发时的值，纳皮尔发现此时P、Q运动距离有种对应关系，他就把可变动的距离CQ称为距离PB的对数。

当时，还没有完善的指数概念，也没有指数符号，因而实际上也没有“底”的概念，他把对数称为人造的数。对数这个词是纳皮尔创造的，原意为“比的数”。

他研究对数用了20多年时间，1614年，他出版了名为《奇妙的对数定理说明书》的著作，发表了他关于对数的讨论，并包含了一个正弦对数表。

有趣的是同一时刻瑞士的一个钟表匠比尔吉也独立发现了对数，

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他用了8年时间编出了世界上最早的对数表，但他长期不发表它。直到1620年，在开普勒的恳求下才发表出来，这时纳皮尔的对数已闻名全欧洲了。

对数的完善

纳皮尔的对数著作引起了广泛的注意，伦敦的一位数学家布里格斯于1616年专程到爱丁堡看望纳皮尔，建议把对数作一些改进，使1的对数为0，10的对数为1等等，这样计算起来更简便，也将更为有用。次年纳皮尔去世，布里格斯独立完成了这一改进，就产生了使用至今的常用对数。1617年，布里格斯发表了第一张常用对数表。1620年，哥莱斯哈姆学院教授甘特试作了对数尺。

思考：编制表格的关键是什么？

xN=a(a>0,a≠1).再把x表示出来。

对于每个N（N>0），令

三、概念形成

回顾数的运算的发展历程: 已知a+x=N，求x？

（引进减法） x=N-a 已知ax=N(a≠0)，求x？（引进除法） x=N÷a nnx=N,x=已知

求x？ （引进开方） N xa1).

求x？

（引进？） x=？

已知=N(a>0.a≠xa=N ( a > 0 , a ≠ 1 ,N>0) 1.对数的定义：一般地，如果

那么数x叫做以a为底N的对数，

记作:

x=logaN其中a叫做对数的底数, N叫做真数.

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a=N

xlogN=xa

探究思考：

（1）负数与零有没有对数？负数与零没有对数

（2）

loga1

logaa

logaNaN

（3）对数恒等式（4）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数.N的常用对数 log10N简记作lgN. （5）自然对数：

在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……

为底的对数，以e为底的对数叫自然对数. 为了简便，N的自然对数logeN

简记作lnN. e3简记作ln3 ; loge10简记作ln10 例如：log

（6）底数a的取值范围：(0,1)(1,)

真数N的取值范围 :

四、例题讲解

例1 将下列指数式写成对数式： 45625log56254

（1）(0,)

2（2）6116log26464

（3）327log327a

5 a

1（4）3

m5.13log15.13m3

例2 将下列对数式写成指数式：

1log1273（1）33327

113log535125

125（2）ln102.303（3）lg0.012（4）

e2.30310

2100.01

五、课堂练习

1.把下列指数式写成对数式

log83282（1）

3（2）232log2325

215（3）1log21122

1327（4）

1311log2733

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2 将下列对数式写成指数式：

2log9239

3（1）3log12535125

5（2）（3）log2112224

4141log34381

81（4）

六、知识拓展

实际上，随计算机发明使用，人们很少使用对数表，可对数在现实生活中的应用却非常广泛，例如：生物领域，求环境容纳量；考古领域通过

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的半衰期判断年代；化学中的求PH值；物理领域中的求声音分贝；地理领域中求地震强度......为什么对数在这么多领域有广泛的应用呢？其实并不神秘，因为这些领域毒涉及到较大复杂数的运算。

这也难怪很多科学家对对数给予非常高

的评价：

拉普拉斯说：“对数用缩短计算时间，延长了天文学家寿命。”；

伽利略说：“给我时间、空间、对数，我将创造一个宇宙。”

恩格斯说：“对数的发明，解析几何的创立，微积分的建立，是17世纪数学史上的三大成就。”

六、小结

xa=N ( a > 0 , a ≠ 1 ,N>0) .对数的定义：一般地，如果

14那么数x叫做以a为底N的对数，

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记作:x=logaN其中a叫做对数的底数, N叫做真数.

七、作业

1.P48阅读与思考

2.课时作业P45-46 3.作业本：

课本P64 习题1.2.3.

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