信息技术应用 借助信息技术方程的近似解教学设计(教案)

3.1.2

用二分法求方程的近似解

授课：姚惠美

指导老师：高志荣

项目

内容

课题

教学

目标

教学重、

难点

教学

准备

3.1.2

用二分法求方程的近似解

1.让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法. 2.了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想. 3.回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣. 用二分法求方程的近似解. 几何画板

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修改与创新

教学过程

导入新课

情境1（生活情境）：在乒乓球国际比赛中，每场比赛前官方会准备16个比赛专用球，要求球的大小、颜色、重量、弹性等属性都一致。现裁判委员会得知某场比赛前的16个比赛用球中有一个因为材质问题而比其它球稍重，比赛即将开始，裁判们急着从中找出这个较重的“问题球”。

现若借你一台天平，你能否用最快的速度帮裁判们解决这个问题？.(让同学们自由发言，找出最好的办法) 解：第一次，两端各放8个球，低的那一端一定有重球. 第二次，两端各放4个球，低的那一端一定有重球. 第三次，两端各放4个球，低的那一端一定有重球

第四次，两端各放1个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球. 其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？

提出问题

①解方程2x-16=0. ②解方程x2-x-2=0. ③解方程x3-2x2-x+2=0. ④解方程(x2-2)(x2-3x+2)=0. ⑤我们知道，函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？

⑥“取中点”后，怎样判断所在零点的区间? ⑦什么叫二分法? ⑧试求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内零点的近似值. ⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤. ⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点. 讨论结果：

①x=8. ②x=-1,x=2. ③x=-1,x=1,x=2. ④x=-2,x=2,x=1,x=2. ⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点

所在的范围.〔“取中点”,一般地,我们把x=ab称为区间(a,b)的中点〕

2⑥比如取区间(2，3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)<0,因为f(2.5)·f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内. ⑦对于在区间［a,b］上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection). ⑧因为函数f(x)=lnx+2x-6，用计算器或计算机作出函数f(x)=lnx+2x-6的对应值表.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) -4 -1.306 1.0986 3.386 5.609 7.791 9.945 12.079 14.197 由表可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0，这说明f(x)在区间内有零点x0，取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器算得f(2.5)≈-0.084，因为f(2.5)·f(3)<0，所以x0∈(2.5,3). 同理,可得表(下表)与图象(如图3-1-2-1). 区间

中点的值

中点函数的近似值

2.5 -0.084 (2，3) (2.5,3) 2.75 0.512 (2.5,2.75) 2.625 0.215 (2.5,2.625) 2.5625 0.066 (2.5,2.5625) 2.53-1-2-5 -0.009 (2.53-1-2-5,2.5625) 2.546875 0.029 (2.53-1-2-5,2.546875) 2.5390625 0.010 (2.53-1-2-5,2.5390625) 2.53515625 0.001 图3-1-2-1 由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75),所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表).这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值.特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值.例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53-1-2-5|=0.0078125<0.01，所以，我们可以将x=2.53-1-2-5作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值. ⑨给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：

1°确定区间［a,b］，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε.

2°求区间(a,b)的中点c. 3°计算f(c): a.若f(c)=0，则c就是函数的零点；

b.若f(a)·f(c)<0，则令b=c〔此时零点x0∈(a,c)〕；

c.若f(c)·f(b)<0，则令a=c〔此时零点x0∈(c,b)〕. 4°判断是否达到精度ε；即若|a-b|<ε，则得到零点值a(或b)；否则重复步骤2°~4°．

⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.

实践

用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个零点．(精度为0.02) 考点

用二分法求方程的近似解

解

由于f(0)＝－3<0，

f(1)＝－2<0，

f(2)＝5＞0，

故可取区间(1,2)作为计算的初始区间．

用二分法逐次计算，列表如下：

因为|1.453 125－1.437 5|＝0.015 625<0.02，

所以函数f(x)＝x3－3的零点的近似值可取为1.437 5. 练习：

1．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容为(

) A．(0,0.5)，f(0.25)

B．(0,1)，f(0.25) 2．根据表中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(

)

A.

(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 3.用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(

) A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001 C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001 4．某方程有一无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分________次后，所得近似值的精确度为0.1. 课堂小结

活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价. 引导方法：从基本知识基本技能和思想方法两方面来总结. ①掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用. ②思想方法：函数方程思想、数形结合思想. 作业

课本P92习题3.1A组

1、3.

板书：（1）二分法的定义

（2）利用二分法求方程的近似解

（3）口诀

板书设计

教学反思

比较匆忙，课件第二个游戏跟最后两题习题没设计好，下次修改一下