小结第一课时导学案

函数与方程复习课（教案）

授课教师：龚永红

课题：函数与方程复习课

课型：复习课

一、设计思路与学情分析

函数与方程是新课程标准实验教科书必修一的内容，在此之前，学生已经系统地学习了函数的概念和性质，还学习了指数函数，对数函数，幂函数等基本初等函数模型。而本章节主要是函数零点及二分法应用，作为复习课，除了回顾已学过的内容之外，更重要的是要让学生有新的收获，这才是复习课的目的。

本节课辅以具体例子来说明主要内容，打破常规的复习课的引入模式，学生更容易接受。对于例题的选讲，也是按类型进行归纳，学生更容易掌握。学习是对知识内化的过程，只有学生通过自己去发现、思考、揭示数学规律，才能更好地促进素质与能力的提高。因此，本节课“重操作、重发现、重思想方法”，教学过程以学生思考、学生解决问题为主，教师意在引导点拔，充分体现以学生为主体，教师为主导的教育思想。为突出重点，突破难点，体现上述教学思想，本节课做了如下几方面的设计：

（1）从学生的最近发展区入手，逐步打开学生的思维，激发学生的学习兴趣；

（2）从问题解决的角度引导学生进入学习情境，抓住学生的思维活动，不断提高学习的要求，使其思维品质得到进一步优化。通过解题规律的揭示，交给学生不仅是问题的解决过程，更是解题的思想和方法；

（3）注意运用现代化教学设备，多让学生自己动手运算。学生通过自己操作，深刻体会探索的过程，强化记忆，加深理解。

二、教学目标

１、知识与技能目标：理解方程的根与函数零点的关系，掌握二分法的应用，体会用函数思想来解决数学问题的重要方法，；

２、过程与方法目标：在复习的过程中，激发学生内在的动力，让学生在思考，讨论，总结的过程中提升数学能力；

３、情感、态度与价值观目标：让学生学会利用函数的图象和性质，用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系；在与同学交流共同探索的过程中，培养不怕困难的精神，学会与人合作。

三、教学重难点

１、教学重点：方程的根与函数零点的关系，理解二分法求方程的近似解，体会函数与方程、数形结合的重要数学思想；

２、教学难点：用零点知识解决一元二次方程根的分布问题。

四、教学方法与教学手段

教法：著名的教育心理学家布鲁纳说过：“所谓求知，是过程，不是结果”，即要把知识的形成过程体现出来，强调学生在教学活动中所表现出来的情感与态度。根据这一理论，我采用激励教学与合作探究的教学方法，让学生经历“方法接受——动手操作——合作探究——展示成果”的活动过程，使学生主动地探索知识，愉快地学习数学。

学法：让学生体验如下的学习过程：“聆听——思考——讨论——展示——感悟”。

教学手段：采用多媒体、投影仪、黑板、学案相结合的方式，在教学效果优化的前提下，增大教学容量，提高课堂效率。

五、教学过程设计

教学过程设计

- 1 - 设计意图、学生活动及媒体应用分析

一

、

知

识

框

架

回

顾

二

、

具

体

内

容

回

顾

一、提出本章节的知识结构网络

函数与方程知识结构网络

方程的根

二分法求

函数零点

与函数零

方程的近

存在性判

点的关系

似解

定定理

二、用具体问题回顾上述内容

提出知识结构网络，让学生从整体上把握本章节，理清知识之间的紧密关系。

用《Powerpoint》向学生展示，提高效率。

师生一起回忆思考，调动学生学习的积极性,增强2课堂的氛围. 1、求方程x6x70的实数根；（x17,x21）

2、求函数yx26x7的零点。（7;1）(强调零点为实数)

提出方程的根与函数零点关系：

方程f(x)0有实根函数yf(x)与x轴有交点

用具体问题来辅助知识函数yf(x)有零点。

回顾，有助于学生更清楚把3、由函数f(x)x26x7可得f(4)0,f(4)0,得出在区间握知识内容，做到复习的有效性。

(4,4)上必有零点。

提出函数零点存在性判定定理

如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲

线，并且有f(a)f(b)0,那么函数yf(x)在区间(a,b)内有零

点，即存在c(a,b)，使得f(c)0，c也就是方程f(x)0的根。

【说明】①该定理只是给出了yf(x)在区间端点处函数值异号时判定定理的进一步挖有零点，并不代表f(a)f(b)0在(a,b)上就没有零点，如：掘,有助于学生更全面地把握定理,做到应用的准确性,f(8)f(2)0.

也进一步展示数学的严谨

②“函数图象连续不断”这一条件必不可少，如：

性.

4、在f(4)0,f(4)0的基础上，用二分法求出函数

f(x)x26x7在区间(4,4)上的一个零点。

第一步：f(0)70;

第二步：在区间(0,4)上找f(2)90;

第三步：在区间(0,2)上找到f(1)0,故1即为一个零点。

提出二分法求方程近似解的步骤：

（1）确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)0,

给定精确度；

（2）求区间(a,b)的中点c；

让学生理解这种方法,明白过程的依据性. （3）计算f(c)；

①若f(c)0,则c就是零点；

②若f(a)f(c)0,则令bc（此时零点x0(a,c)；

③若f(c)f(b)0,则令ac（此时零点x0(a,c)；

yOx

- 2 -

三

、

主

要

问

题

归

纳

（4）判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a或b，否则重复（2）～（4）。

三、主要问题归纳选讲

类型一：函数零点区间问题

1(1)、函数f(x)2x3x7的零点所在区间为（

C

）

A.(1,0)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(2,3)

1(2)、函数f(x)的图象是连续不断的，有如下表格：

x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 f(x) -3.51 1.02 2.37 1.56 -0.38 1.23 2.77 3.45 4.89 则函数零点区间是 (2,1.5),(0.5,0),(0,0.5) 类型二、函数零点个数问题

2、函数f(x)2x3x7的零点个数为（

A

）

把问题归类,让学生的思维更清晰，更容易掌A.1

B.2

C.3

D.4

握. 法一：等价于y2x与y73x两函数图象的交点个数。

法二：该函数为单增函数，由1（1）知其与x轴只有一个交点。

由此引出函数零点唯一性定理：

体会两种方法的差异若函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，在区间

(a,b)上严格单调，则f(a)f(b)0函数yf(x)在区间(a,b)性,打开学生的思维,更突出数形结合的思想,也为内有唯一零点。

提出函数零点唯一性定理类型三：函数零点含参数问题

作铺垫. 3、函数f(x)x22xa没有零点，则（

B

）

A.a1

B.a1

C.a1

D.a1

从几何与代数两个角解析：该函数为开口向上的二次函数

度提出本问题的解法,更法一：该函数与x轴无交点，44a0,a1

加彰显数形结合的思想. 法二：该函数的最小值f(1)12a0,a1

2法三的提出,为以后法三：f(x)0恒成立，即x22xa0,ax2x

的含参型函数问题解决方

a(x22x)max，a1

法打下基础,尤其是变量类型四：函数零点在一元二次方程根的分布中的应用

分离这种方法. 24、关于x的一元二次方程x(m3)xm0有两个正根，求m的

取值范围。

法一：韦达定理法：设方程的两实根分别为x1,x2，则

(m3)24m0m0m1

x1x23m0xxm012法二：二次函数法：设f(x)x(m3)xm，则

2＝(3-m)2-4m0b3-m-=->0m0m1

22af(0)=m>0评价两种方法，引出其它问题。

- 3 -

变式训练：

关于x的一元二次方程x2(m3)xm0的根满足下列条件时，求学生先自行解决,然后m的取值范围。

与相邻同学进行交流讨2（1）两实根均在(0,2);

m

m1

论,教师巡视，展示学生结3果并给予评价。

2

（2）两实根中有且仅有一根在(0,2);

m0 m

3

4

（3）两实根中，一根在(2,0),一根在(1,4).

{m|m0}

5让学生先自行思考列式，再邻桌之间互相讨论，再展示学生的结果。

通过变式的训练，让学生总结一般的情况：主要讨论两种根的分布，

其余的情况方法类似，学生能够在课后去完成。

1、当一元二次方程ax2bxc0(a0)的根分布在同一个区间时，由特殊到一般，学生讨限定要考虑哪些方面？

论出限制条件，让学生在

合作交流中提升自我的能y y y 力。

x k

k x k O k x 1 2

x1k,x2k

x1k,x2k

k1x1,x2k2

b24ac0b24ac0b24ac0

bbbkkk2



k1



2a2a2a

f(k)0f(k)0f(k)0;f(k)012

22、当一元二次方程axbxc0(a0)的根分布在不同区间时，限定要考虑哪些方面？

y y y k x k x k1 k2 p1 p2 x

一根比k大

两根有且仅有一根

一根在(k1,k2)

一根比k小

在区间(k1,k2)

一根在(p1,p2)

f(k1)0;f(k2)0f(k)0

f(k1)f(k2)0



f(p1)0;f(p2)0

- 4 -

类型五：二分法的应用

35(1).用二分法求方程x2x50在区间[2,3]的近似解，取中点

5x0，那么下一个有解区间为

(2,2.5)

2

5解析：找出f()与f(2)还是f(3)异号即可。

2

5(2).下图是函数f(x)的图象，它与x轴有四个不同的交点，给出下

列四个区间，不能用二分法求出函数f(x)在区间（

B ）上的零点。

A.[2.1,1]

B.[1.9,2.3]

C.[4.1,5]

D.[5,6.1]

解析：二分法的首要关键点在于区间两端点的函数值要异号，把握这

一点即可得出正解。

拓展延伸：

本题是大学数学中的6、函数yf(x)在区间[1,2]是一条连续不断的曲线，且

“介值定理”的特殊情况，f(1)2,f(2)4,请说明：在区间[1,2]上必存在一个实数m使得

结论很明显，但需要学生f(m)3.

用数学方法把它表达清解析：构造函数g(x)f(x)3,则

楚，应该不是一件很容易g(1)f(1)310,g(2)f(2)310,

的事情。所以提出构造函数这种方法，再结合本节故在区间[1,2]上必存在一个实数m使得g(m)0，即f(m)3.

课的零点存在性定理来加

以解释，就很清楚了。

课堂小结：

1、理解方程的解、函数零点、函数图象交点之间的关系；

2、理解函数零点存在性定理；

3、理解函数零点唯一性定理，并能确定函数零点个数和零点范围；

4、利用零点知识解决一元二次方程根的分布问题；

5、理解二分法求方程的近似解；

6、体会函数与方程、数形结合、化归与转化等重要数学思想。

四

、

课

堂

小

结

再次提出本节课的主要内容，让学生在心里过一遍，看是否都明白了，让学生进行自我检验学习的效果。

- 5 -

五

、

课

后

作

业

课后作业：

1、函数f(x)xlog2x的零点所在区间为（

C

）

111111A.[0,]

B.[,]

C.[,]

D.[,1]

8844222、已知函数f(x)3mx4，若在[2,0]上存在x0，使f(x0)0，则实数m的取值范围是

(,]

3、直线y1与曲线f(x)x2|x|a有四个交点，则a的取值范围23544、函数f(x)log1xx4的零点个数为

2

为

(1,)

25、已知关于x的方程x2axa0在[1,1]上有两个不同的解，求实数a的取值范围。(0a)

6、若方程923a0在区间[0,1]上有两个实数解，求实数a的值。(a1)

7、利用参考数据表求方程22x50的近似解（精确到0.1）。

区间

中点值x

xxx213数学学习需要巩固，这几道题目基本涵盖了本章节的全部内容，学生再次练习，能得到较大的收获。

(1,2)

1.5

0.83

(1,1.5)

1.25

0.12

(1.25,1.5)

(1.25,1.375)

1.375

0.34

1.3125

0.11

2x2x5

答案：1.3

六

、

课

后

反

思

- 6 -