小结教学设计第一课时

必修一第三章

章末归纳整合

知识网络

要点归纳

1．方程的根与函数的零点

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

2．零点判断法

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

注意由f(a)·f(b)＜0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点与不变号零点．

当f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点．

3．二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择．

4．解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化．另一方面，要不断拓宽知识面，提高间接的生活阅历，诸如了解一些物价、行程、产值、利润环保等实际问题，也可以涉及面积、体积、造价等最优化问题，培养实际问题数学化的意识和能力．

专题一

函数的零点与方程的根的问题

确定函数零点的个数有两个基本方法：一是利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断．二是利用零点存在性定理判断，但还需结合函数的图象和单调性，特别是二重根容易漏掉．

函数的零点是一个实数而非一个点，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．

【例1】

方程log3x＋x＝3的解所在的区间是(

)．

A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3，＋∞) 解析

把方程的解转化为函数f(x)＝log3x＋x－3对应的零点．令f(x)＝log3x＋x－3，f(2)＝log32－1＜0，f(3)＝1＞0，∴f(2)·f(3)＜0，且函数f(x)在定义域内是增函数，∴函数f(x)只有一个零点，且零点x0∈(2,3)，即方程log3x＋x＝3的解所在区间为(2,3)．故选C. 答案

C

x2，x＝0，f(x)＝－x，x＜0.【例2】

设

(1)f(x)有零点吗？

(2)设g(x)＝f(x)＋k，为了使方程g(x)＝0有且只有一个根，k应该怎样限制？

(3)当k＝－1时，g(x)有零点吗？如果有，把它求出来，如果没有，请说明理由；

(4)你给k规定一个范围，使得方程g(x)＝0总有两个根．

解

(1)画出f(x)的图象，如图(1)，从图象可以

看出，图象与x轴没有交点，f(x)没有零点．

(2)从图(1)可以看出f(x)＞0. 对于g(x)＝f(x)＋k，为了使方程g(x)＝0有且只

有一个根，f(x)的图象必须向下移动，但移动的

幅度要小于1，否则g(x)＝0就有两个根了．

k应该限制为－1＜k＜0. 几何解释如图(2)．

(3)有，x＝0，它来源于2x－1＝0；x＝－1，它来源于－x－1＝0. (4)规定k的范围是{k|k≤－1}．

专题二

函数模型及应用

应用函数知识解应用题的关键在于深入理解题意，用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻求已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联系起来，建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程观点求解．

【例3】

为了预防流感，某学校对教室用药熏

消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内

每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时) 成正比．药物释放完毕后，y与t的函数关系式

为1－y＝16ta(a为常数)，如上图所示，根据上图

中提供的信息，回答下列问题．

(1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式；

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？

解

(1)由题图可设y＝kt(0≤t≤0.1)，把点(0.1,1)分别代入y＝kt和y＝1－16ta，得k＝10，a＝0.1，

0≤1＝10t

t≤∴y10，116t－0.1t＞110.

(2)由1－16t0.1＜0.25＝

，得t＞0.6小时，开始，至少经过0.6小时后学生才能回到教室．

时间t

50

110

250

种植成本Q

150

108

150

即从药物释放

【例4】

芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可以美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场，某人准备进入芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，他进入市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：

(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：

Q＝at＋b；Q＝at2＋bt＋c；Q＝a·bt；Q＝alogbt；

(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时上市天数t及最低种植成本？

解

(1)由所提供的数据知，反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系不可能是常数函数，故用上述四个函数中任意一个来反映时都应有a≠0，而函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt均为单调函数，这与表格所给数据不符合，所以应选择二次函数y＝at2＋bt＋c，将上述表格中的数据代入

150＝2 500a＋50b＋c，可得：108＝12 100a＋110b＋c，150＝62 500a＋250b＋c，

1a＝，2003解得b＝－2，425c＝2.

所以，芦荟上市时间t与芦荟种植成本Q之间的关系为

123425Q＝200t－2t＋2.(t∈N) 3－2(2)当t＝－1＝150(天)时，

2×200

芦荟种植成本最低为

134252Q＝×150－×150＋＝100(元/10 kg)．

20022所以芦荟种植成本最低时，上市天数为150天，最低种植成本为100元/10 kg.

专题三

函数与方程思想

函数思想是用运动的和变化的观点，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，利用函数的图象和性质去分析问题和解决问题，使问题获得解决．

方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，使问题获得解决．

本章函数与方程思想的应用，主要体现在：求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的零点，就是求函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；其次，在应用题中利用函数建模，解决实际问题．

【例5】

设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)的实根的个数．

解

原方程⇔

x－1＞0，3－x＞0，a－x＞0，x－13－x＝a－x.

x－1＞0，即3－x＞0，x－13－x＝a－x.

整理，得－x2＋5x－3＝a(1＜x＜3)．

在同一坐标系中分别作出函数y＝a及y＝－x2＋5x－3，x∈(1,3)的图象，如图所示：

当x＝1时，y＝1；当x＝3时，y＝3；

513当x＝2时，ymax＝4. 13(1)当a＞或a≤1时，函数图象无交点，故原方程无实数根；

413(2)当a＝4或1＜a≤3时，函数图象有一个交点，故原方程有一个实数根；

(3)当3＜a＜

13时，函数图象有两个交点，故原方程有两个实数根．

4

专题四

数形结合思想的应用

函数的解析式与函数图象是函数的两种不同表现形式，因此在解决数学问题时，可以通过数与形的相互转化达到“以形助数，以数解形”的目的，数形结合的思想可以将复杂问题简单化，抽象问题直观化，此类问题通常是解的个数的判断和解的范围的确定等．

【例6】

求不等式x－1＜log6(x＋3)的所有整数解．

解

设y1＝x－1，y2＝log6(x＋3)，在同一坐标系中作出它们的图象如图所示，两图象有两个交点，一交点的横坐标显然在－3和－2之间，另一个交点设为P.因为x＝1时，log6(1＋3)－(1－1)＞0，x＝2时，log6(2＋3)－(2－1)＜0，所以1＜xP＜2. 综上，原不等式的所有整数解集为{－2，－1,0,1}．

命题趋势

1．纵观近三年高考题在本章中的考查题型主要以选择题和填空题为主，分值约占4～5分，也会在解答题中某一部分涉及函数的应用．

2．重点考查基本初等函数，特别是指数、对数函数的图象和性质的综合应用，方程的根，函数图象与x轴的交点以及函数零点之间的联系，注重知识之间的综合．

3．预计在今后高考中，仍将在基本初等函数的图象与性质的交汇处命题，特别关注考查指数型、分段函数模型的应用题目．

高考真题

1．(2010·天津高考)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(

)．

A．(－2，－1)

B．(－1,0) C．(0,1)

D．(1,2)

解析

∵f(x)＝ex＋x－2在R上是增函数．

而f(－2)＝e－2－4＜0，f(－1)＝e－1－3＜0，

f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，f(2)＝e2＞0，

∴f(0)·f(1)＜0. 故(0,1)为函数f(x)的零点所在的一个区间．

答案

C

2．(2011·全国高考)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(

)．

1A.－4，0

11C.4，2



1B.0，4

13D.2，4



3．(2010·天津高考)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是

(

)．

A．(－2，－1)

B．(－1,0) C．(0,1)

D．(1,2) 1解析

f(0)＝1＞0，f(－1)＝2－3＜0，∴函数在(－1,0)上

必有零点，又f(x)是单调增函数，故只有一个零点．故选B. 答案

B

14．(2011·浙江)已知x0是函数f(x)＝2＋的一个零点，若x1x1－x∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(

)．

A．f(x1)＜0，f(x2)＜0

B．f(x1)＜0，f(x2)＞0 C．f(x1)＞0，f(x2)＜0

D．f(x1)＞0，f(x2)＞0 解析

在(1，＋∞)上y＝1为增函数，y＝2x1－x也为增函数，∴f(x)在(1，＋∞)上为增函数．∵f(x0)＝0而x0＞x1，

∴f(x1)＜0，∵f(x0)＝0而x0＜x2，∴f(x2)＞0.故选B. 答案

B

5．(2011·上海高考)若x0是方程lg x＋x＝2的解，则x0属于区间(

)．

A．(0,1)

B．(1,1.25) C．(1.25,1.75)

D．(1.75,2) 解析

构造函数f(x)＝lg x＋x－2，

由f(1.75)＝f(7714)＝lg4－4＜0. f(2)＝lg 2＞0，知x0∈(1.75,2) 又f(x)是单调增函数，故只有一零点，选择答案

D

D.

6．(2010·福建高考)函数为(

)．

2x＋2x－3，x≤0，f(x)＝－2＋ln x，x＞0

的零点个数A．3

B．2

C．1

D．0 解析

当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3.当x＞0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0，得x＝e2.∴f(x)的零点有两个．故选B. 答案

B

7．(2011·浙江高考)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．

解析

由题意得，3 860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7 000，

化简得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，

解得x%≥0.2，或x%≤－3.2(舍去)．

∴x≥20，即x的最小值为20. 答案

20